Lemme de Fitting

En mathématiques, le lemme de Fitting est un énoncé d'algèbre d'après lequel si M est un module indécomposable et de longueur finie alors tout endomorphisme de M est soit bijectif, soit nilpotent. Il en résulte que l'anneau des endomorphismes de M est local.

Énoncé

Si M est un module de longueur finie n et f un endomorphisme de M alors[1]

${\displaystyle M=\ker(f^{n})\oplus \mathrm {im} (f^{n}).}$

Démonstration

Par hypothèse sur la longueur de M, on a

${\displaystyle \ker(f^{n+1})=\ker(f^{n})\quad {\text{et}}\quad \mathrm {im} (f^{n+1})=\mathrm {im} (f^{n}).}$

De ces égalités on déduit respectivement

${\displaystyle \ker(f^{n})\cap \mathrm {im} (f^{n})=0\quad {\text{et}}\quad \ker(f^{n})+\mathrm {im} (f^{n})=M.}$

Conséquences

• Sous les hypothèses du lemme, f se restreint en un endomorphisme nilpotent de ker(f^n) et un automorphisme de im(f^n)[2].
• Si M est de plus indécomposable alors f est soit nilpotent, soit inversible, et l'anneau End(M) est local[3].
• Ce lemme permet de démontrer le théorème de Krull-Schmidt sur l'unicité de la décomposition d'un module de longueur finie en somme directe d'indécomposables.

Notes et références

1. (en) Alberto Facchini, Module Theory : Endomorphism Rings and Direct Sum Decompositions in Some Classes of Modules, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics » (n^o 167), 1998, 288 p. (ISBN 978-3-7643-5908-9, lire en ligne), p. 47
2. (en) Louis Halle Rowen, Ring Theory, vol. 1, Boston, Academic Press, coll. « Pure and applied mathematics » (n^o 127), 1988 (ISBN 978-0-12-599841-3, lire en ligne), p. 239
3. (en) Paul M. Cohn, Introduction to Ring Theory, Springer, coll. « Undergraduate Mathematics Series », 2000, 229 p. (ISBN 978-1-85233-206-8, lire en ligne), p. 80-81

• (en) Joachim Lambek, Lectures on Rings and Modules, AMS Chelsea, 2009, 3^e éd., 187 p. (ISBN 978-0-8218-4900-2, lire en ligne), p. 23
• (en) « Fitting's Lemma », sur PlanetMath

Voir aussi

(en) Thomas W. Hungerford (en), Algebra, coll. « GTM » (n^o 73), 1974 (lire en ligne), p. 84 — lemme de Fitting pour les groupes.