Asrian a remporté le championnat national arménien à trois reprises, en 1999, 2007 et 2008, et les tournois de Dubaï en 2001 ainsi que le mémorial Tigran Petrossian en 2004.
En 2006, Asrian a fait partie de l'équipe arménienne victorieuse de l'Olympiade de Turin. Il était réputé pour son style solide et son refus de prendre des risques sur l'échiquier. Sa maîtrise des finales faisait de lui un excellent coéquipier.[réf. nécessaire]
En , son classement Elo de 2621 faisait de lui le 4e joueur arménien.