Julián Montoya commence sa carrière dans sa ville natale de Buenos Aires, avec le club amateur de Newman dans le URBA Top 14, avec qui il évolue à partir de 2013[3]. À côté de cela, il joue avec la province des Pampas XV en 2015, disputant et remportant la Pacific Rugby Cup cette année là[4],[5].
En 2016, il fait ses débuts en Super Rugby avec la franchise des Jaguares[6]. En 2017, alors qu'il est courtisé par le club anglais de Gloucester, il décide de prolonger son contrat avec sa franchise[7]. Lors de la saison 2019, il est finaliste du championnat, après une défaite face aux Crusaders lors de la finale[8].
En 2021, après l'exclusion des Jaguares du Super Rugby, il rejoint le club anglais de Leicester Tigers en Premiership[9]. Durant la saison 2021-2022, Leicester est éliminé en quarts de finale de la Coupe d'Europe par les Irlandais du Leinster[10]. Cependant en championnat, le club se qualifie jusqu'en finale où il affronte les Saracens. Pour cette rencontre, Julián Montoya est titulaire en première ligne aux côtés d'Ellis Genge et Dan Cole. Son équipe s'impose en toute fin de match grâce à un drop de Freddie Burns[11]. Durant la saison 2022-2023, il est nommé dans l'équipe-type de Premiership après ses bonnes performances tout au long de la saison[12].
Bien que régulièrement appelé avec les Pumas, en 2018 Montoya n'a débuté que 4 fois en 51 sélections, en raison de la concurrence de l'inamovible capitaine Agustín Creevy[15].
Julián Montoya est nommé pour la première fois capitaine de sa sélection nationale en , en remplacement de Pablo Matera[19].
Début , il fait partie des trente-trois sélectionnés pour la Coupe du monde 2023, dont il est le capitaine[20]. Il joue six matchs lors de la compétition, tous comme titulaire[2].