En tant que junior (moins de 19 ans), Jack Burke remporte le contre-la-montre individuel du Tour de l'Abitibi en 2013. Un jour plus tard, il est testé positif à l'hydrochlorothiazide, un médicament interdit. Sur la base de ce test positif, il est suspendu et perd sa victoire. Il conteste s'être dopé et engage un avocat. Après un procès, il est prouvé que la substance est entrée dans son corps par l'eau que Burke avait bu et sa suspension pour dopage est annulée. Cependant, il ne récupère les bénéfices de sa victoire (et sa deuxième place dans le championnat national de contre-la-montre un mois plus tôt)[1]. Plus tard cette année-là, il termine dix-neuvième du championnat du monde de contre-la-montre juniors. En 2014, il est troisième de la poursuite par équipes lors des championnats nationaux sur piste.
En 2018, il est membre de l'équipe américaine Jelly Belly-Maxxis. Il est dixième du Tour of the Gila. En juin, lors du Tour de Beauce, il remporte une étape de montagne[3] et porte le maillot de leader pendant un jour et termine finalement quatrième du général. En août, il est onzième du Tour de l'Utah et douzième de la Colorado Classic. Lors de la saison 2019, il rejoint l'équipe luxembourgeoise Leopard et court de nombreuses épreuves en Europe[4]. Son meilleur résultat est une quatrième place sur le Tour du Jura.
En 2020, Jack Burke rejoint la formation autrichienne Vorarlberg-Santic, mais il ne participe qu'à sept jours de courses en raison de la pandémie de Covid-19.