Isomorphisme de Harish-Chandra

En mathématiques, l'isomorphisme de Harish-Chandra, défini par Harish-Chandra en 1951, est un isomorphisme d'anneaux commutatifs entre le centre ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$ de l'algèbre enveloppante universelle ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ d'une algèbre de Lie réductive ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ et les éléments ${\displaystyle S({\mathfrak {h}})^{W}}$ de l'algèbre symétrique ${\displaystyle S({\mathfrak {h}})}$ d'une sous-algèbre de Cartan ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ invariants sous l'action du groupe de Weyl ${\displaystyle W}$.

Introduction

Soient ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ une algèbre de Lie semi-simple, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ sa sous-algèbre de Cartan et ${\displaystyle \lambda ,\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ deux éléments de l'espace de poids (où ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ est le dual de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$). On fixe qu’un ensemble de racines positives ${\displaystyle \Phi _{+}}$. Soient ${\displaystyle V_{\lambda }}$ et ${\displaystyle V_{\mu }}$ les modules de poids correspondant à ${\displaystyle \lambda }$ et ${\displaystyle \mu }$ respectivement.

Caractères centraux

Les ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-modules ${\displaystyle V_{\lambda }}$ et ${\displaystyle V_{\mu }}$ sont des représentations de l'algèbre enveloppante universelle ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ et son centre agit sur les modules par multiplication scalaire (cela découle du fait que les modules sont générés par un vecteur de poids le plus élevé). Donc pour ${\displaystyle v\in V_{\lambda }}$ et ${\displaystyle x\in {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$,$${\displaystyle x\cdot v:=\chi _{\lambda }(x)v}$$et de même pour ${\displaystyle V_{\mu }}$. Les fonctions ${\displaystyle \chi _{\lambda },\,\chi _{\mu }}$ sont des caractères de ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$ dits caractères centraux.

Énoncé du théorème de Harish-Chandra

Pour tous ${\displaystyle \lambda ,\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$, il y a égalité des caractères ${\displaystyle \chi _{\lambda }=\chi _{\mu }}$ si et seulement si ${\displaystyle \lambda +\delta }$ et ${\displaystyle \mu +\delta }$ sont dans la même orbite du groupe de Weyl ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$, où ${\displaystyle \delta }$ est la demi-somme des racines positives, parfois appelée vecteur de Weyl[1].

Isomorphisme explicite

Plus explicitement, l'isomorphisme peut être construit comme la composition de deux applications, l'une de ${\displaystyle {\mathfrak {Z}}={\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$ à ${\displaystyle U({\mathfrak {h}})=S({\mathfrak {h}}),}$ et un autre de ${\displaystyle S({\mathfrak {h}})}$ dans lui-même.

La première est une projection ${\displaystyle \gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h}})}$. Pour un choix de racines positives ${\displaystyle \Phi _{+}}$, on définit$${\displaystyle n^{+}=\bigoplus _{\alpha \in \Phi _{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha },n^{-}=\bigoplus _{\alpha \in \Phi _{-}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$$les sous-algèbre nilpotente positive et sous-algèbre nilpotente négative respectivement, en raison du théorème de Poincaré – Birkhoff – Witt, il y a une décomposition$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=U({\mathfrak {h}})\oplus (U({\mathfrak {g}}){\mathfrak {n}}^{+}+{\mathfrak {n}}^{-}U({\mathfrak {g}})).}$$Si ${\displaystyle z\in {\mathfrak {Z}}}$ est central, alors en fait$${\displaystyle z\in U({\mathfrak {h}})\oplus (U({\mathfrak {g}}){\mathfrak {n}}^{+}\cap {\mathfrak {n}}^{-}U({\mathfrak {g}})).}$$La restriction de la projection ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})\rightarrow U({\mathfrak {h}})}$ au centre est ${\displaystyle \gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h}})}$, et est un homomorphisme des algèbres. Ceci est lié aux caractères centraux par$${\displaystyle \chi _{\lambda }(x)=\gamma (x)(\lambda )}$$La deuxième application est l'application de torsion ${\displaystyle \tau :S({\mathfrak {h}})\rightarrow S({\mathfrak {h}})}$ définie sur ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ par ${\displaystyle \tau (h)=h-\delta (h)1}$ avec ${\displaystyle \delta }$ le vecteur de Weyl.

Alors ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}=\tau \circ \gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h}})}$ est l'isomorphisme d'Harish-Chandra. La raison pour laquelle la torsion est introduite est que ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ n'est pas réellement invariant de Weyl, mais on peut prouver que le caractère tordu ${\displaystyle {\tilde {\chi }}_{\lambda }=\chi _{\lambda -\delta }}$ l'est.

Applications

Le théorème a été utilisé pour obtenir une preuve algébrique de la formule des caractères de Weyl pour les représentations irréductibles de dimension finie[2]. La preuve a été encore simplifiée par Victor Kac, de sorte que seul l'opérateur de Casimir est nécessaire.

Une conséquence simple est que pour les modules de Verma ou les modules Verma généralisés ${\displaystyle V_{\lambda }}$ de poids ${\displaystyle \lambda }$, il n’existe qu’un nombre fini de poids ${\displaystyle \mu }$ pour lequel un morphisme non nul ${\displaystyle V_{\lambda }\rightarrow V_{\mu }}$ existe.

Invariants fondamentaux

Pour ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ une algèbre de Lie simple, soit ${\displaystyle r}$ soit son rang, c'est-à-dire la dimension de toute sous-algèbre de Cartan ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. H. S. M. Coxeter a observé que ${\displaystyle S({\mathfrak {h}})^{W}}$ est isomorphe à une algèbre de polynômes en ${\displaystyle r}$ variables (voir le théorème de Chevalley-Shephard-Todd pour un énoncé plus général). Par conséquent, le centre de l'algèbre enveloppante universelle d'une algèbre de Lie simple est isomorphe à une algèbre de polynômes. Les degrés des générateurs de l'algèbre sont les degrés des invariants fondamentaux donnés dans le tableau suivant.

Algèbre de Lie	Nombre de Coxeter h	Nombre de Coxeter dual	Degré des invariants fondamentaux
R	0	0	1
An	n + 1	n + 1	2, 3, 4,... , n + 1
Bn	2n	2n − 1	2, 4, 6, ... , 2n
Cn	2n	n + 1	2, 4, 6, ... , 2n
Dn	2n − 2	2n − 2	n ; 2, 4, 6, ... , 2n − 2
E6	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E7	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E8	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4	12	9	2, 6, 8, 12
G2	6	4	2, 6

Le nombre d’invariants fondamentaux d’un groupe de Lie est égal à son rang. Les invariants fondamentaux sont également liés à l'anneau de cohomologie d'un groupe de Lie. En particulier, si les invariants fondamentaux ont des degrés ${\displaystyle d_{1},\cdots ,d_{r}}$, alors les générateurs de l'anneau de cohomologie ont des degrés ${\displaystyle 2d_{1}-1,\cdots ,2d_{r}-1}$. De ce fait, les degrés des invariants fondamentaux peuvent être calculés à partir des nombres de Betti du groupe de Lie et vice versa. Dans une autre direction, les invariants fondamentaux sont liés à la cohomologie de l'espace de classification. L'anneau de cohomologie ${\displaystyle H^{*}(BG,\mathbb {R} )}$ est isomorphe à une algèbre polynomiale sur des générateurs à degrés ${\displaystyle 2d_{1},\cdots ,2d_{r}}$[3].

Exemples

• Si ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est l'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$, alors le centre de l'algèbre enveloppante universelle est généré par l'invariant de Casimir de degré 2, et le groupe de Weyl agit sur la sous-algèbre de Cartan, qui est isomorphe à ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Donc l'invariant du groupe de Weyl est le carré du générateur de la sous-algèbre de Cartan, qui est également de degré 2.
• Pour ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=A_{2}={\mathfrak {sl}}(3,\mathbb {C} )}$, l'isomorphisme de Harish-Chandra dit que${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$ est isomorphe à une algèbre polynomiale de polynômes invariants de Weyl à deux variables ${\displaystyle h_{1},h_{2}}$ (puisque la sous-algèbre de Cartan est deux dimensionnel). Pour ${\displaystyle A_{2}}$, le groupe de Weyl est ${\displaystyle S_{3}\cong D_{6}}$ qui agit sur la sous-algèbre de Cartan. Le groupe de Weyl agit par réflexions, ce sont donc des isométries et donc le polynôme de degré 2 ${\displaystyle f_{2}(h_{1},h_{2})=h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}$ est un invariant de Weyl. Une ébauche du polynôme invariant de Weyl de degré 3 (pour un choix particulier de représentation standard où l'une des réflexions se trouve sur l'axe des x) est présentée ci-dessous. Ces deux polynômes génèrent l'algèbre polynomiale et sont les invariants fondamentaux de ${\displaystyle A_{2}}$.
• Pour toutes les algèbres de Lie de la classification, il existe un invariant fondamental de degré 2, l'opérateur de Casimir. À travers l'isomorphisme, celui-ci correspondent à un polynôme de degré 2 sur la sous-algèbre de Cartan. Le polynôme invariant est${\displaystyle f_{2}(\mathbf {h} )=h_{1}^{2}+\cdots +h_{r}^{2}}$où r est la dimension de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, le rang de l'algèbre de Lie.
• Pour ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=A_{1}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$, la sous-algèbre de Cartan est unidimensionnelle, et l'isomorphisme de Harish-Chandra montre que ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$ est isomorphe à l'algèbre des polynômes invariants de Weyl en une seule variable ${\displaystyle h}$. Le groupe de Weyl est ${\displaystyle S_{2}}$ agissant par réflexion, avec un élément non trivial agissant sur les polynômes par ${\displaystyle h\mapsto -h}$. La sous-algèbre des polynômes invariants de Weyl dans l'algèbre polynomiale complète ${\displaystyle K[h]}$ est constituée des polynômes pairs, générés par ${\displaystyle f_{2}(h)=h^{2}}$.

L'invariant fondamental de degré 3 pour A₂.

Généralisation aux algèbres de Lie affines

Le résultat ci-dessus est valable pour les algèbres de Lie réductives, et en particulier semi-simples. Il existe une généralisation aux algèbres de Lie affines montrée par Feigin et Frenkel montrant qu'une algèbre connue sous le nom de centre Feigin-Frenkel est isomorphe à une algèbre W associée à l'algèbre de Lie duale de Langlands ${\displaystyle ^{L}{\mathfrak {g}}}$[4] ,[5].

Notes

1. Humphreys 1978, p. 130.
2. Humphreys 1978, p. 135–141.
3. Borel, « Sur la cohomologie des espaces homogenes des groupes de Lie compacts », American Journal of Mathematics, vol. 76, n^o 2,‎ avril 1954, p. 273–342
4. Molev, « On Segal–Sugawara vectors and Casimir elements for classical Lie algebras », Letters in Mathematical Physics, vol. 111, n^o 8,‎ 19 janvier 2021 (DOI 10.1007/s11005-020-01344-3, arXiv 2008.05256, S2CID 254795180)
5. Feigin, Frenkel et Reshetikhin, « Gaudin Model, Bethe Ansatz and Critical Level », Commun. Math. Phys., vol. 166,‎ 3 avril 1994, p. 27–62 (DOI 10.1007/BF02099300, arXiv hep-th/9402022, S2CID 17099900)

Lien externe

(en) Brian Weber, « Notes on the Harish-Chandra isomorphism », sur université de Pennsylvanie

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Harish-Chandra isomorphism » (voir la liste des auteurs).
• Harish-Chandra, « On some applications of the universal enveloping algebra of a semisimple Lie algebra », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 70, n^o 1,‎ 1951, p. 28-96 (DOI 10.2307/1990524 , JSTOR 1990524, MR 0044515)
• James E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, vol. 9, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1978 (ISBN 0-387-90053-5, MR 0499562) (Contains an improved proof of Weyl's character formula.)
• James E. Humphreys, Representations of semisimple Lie algebras in the BGG category O, AMS, 2008 (ISBN 978-0-8218-4678-0), p. 26
• Anthony W. Knapp et David A. Vogan, Cohomological induction and unitary representations, vol. 45, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematical Series », 1995 (ISBN 978-0-691-03756-1, MR 1330919)
• Anthony W. Knapp, « V. Finite Dimensional Representations §5. Harish-Chandra Isomorphism », dans Lie Groups Beyond an Introduction, vol. 140, Springer, coll. « Progress in Mathematics », 2013 (1^re éd. 1996), 246-258 p. (ISBN 978-1-4757-2453-0, lire en ligne)