En analyse mathématique , les intégrales de Cauchy- Frullani , portant les noms d'Augustin Cauchy et de Giuliano Frullani sont des intégrales impropres de la forme
∫
0
∞
f
(
a
x
)
−
f
(
b
x
)
x
d
x
(
a
,
b
>
0
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad (a,b>0)}
Si f est localement intégrable sur l'intervalle ouvert
]
0
,
+
∞
[
{\displaystyle \left]0,+\infty \right[}
limite finie aux deux bornes, alors l'intégrale converge et
∫
0
∞
f
(
a
x
)
−
f
(
b
x
)
x
d
x
=
(
f
(
∞
)
−
f
(
0
)
)
ln
a
b
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x=(f(\infty )-f(0))\ln {\frac {a}{b}}}
Démonstration
On a, par changement de variable,
I
=
∫
ε
A
f
(
a
x
)
−
f
(
b
x
)
x
d
x
=
∫
a
ε
a
A
f
(
t
)
t
d
t
−
∫
b
ε
b
A
f
(
t
)
t
d
t
=
∫
a
ε
b
ε
f
(
t
)
t
d
t
−
∫
a
A
b
A
f
(
t
)
t
d
t
{\displaystyle I=\int _{\varepsilon }^{A}{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{a\varepsilon }^{aA}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{b\varepsilon }^{bA}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{aA}^{bA}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t}
I
=
∫
a
ε
b
ε
f
(
t
)
−
f
(
0
)
t
d
t
+
f
(
0
)
ln
b
a
−
∫
a
A
b
A
f
(
t
)
−
f
(
∞
)
t
d
t
−
f
(
∞
)
ln
b
a
{\displaystyle I=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)-f(0)}{t}}\,\mathrm {d} t+f(0)\ln {\frac {b}{a}}-\int _{aA}^{bA}{\frac {f(t)-f(\infty )}{t}}\,\mathrm {d} t-f(\infty )\ln {\frac {b}{a}}}
Donc
∫
ε
A
f
(
a
x
)
−
f
(
b
x
)
x
d
x
−
(
f
(
∞
)
−
f
(
0
)
)
ln
a
b
=
∫
a
ε
b
ε
f
(
t
)
−
f
(
0
)
t
d
t
−
∫
a
A
b
A
f
(
t
)
−
f
(
∞
)
t
d
t
{\displaystyle \int _{\varepsilon }^{A}{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x-(f(\infty )-f(0))\ln {\frac {a}{b}}=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)-f(0)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{aA}^{bA}{\frac {f(t)-f(\infty )}{t}}\,\mathrm {d} t}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
A
{\displaystyle A}
Historique
La formule ci-dessus se trouve sans démonstration dans une lettre de Frullani datée de 1821, et a été démontrée par Cauchy en 1823[ 1]
Application
En prenant
f
(
x
)
=
e
−
x
{\displaystyle f(x)=\mathrm {e} ^{-x}}
∫
0
∞
e
−
a
x
−
e
−
b
x
x
d
x
=
ln
b
a
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-ax}-\mathrm {e} ^{-bx}}{x}}\mathrm {d} x=\ln {\frac {b}{a}}}
∫
0
1
t
a
−
1
−
t
b
−
1
ln
t
d
t
=
ln
a
b
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {t^{a-1}-t^{b-1}}{\ln t}}\mathrm {d} t=\ln {\frac {a}{b}}}
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Frullani integral » (voir la liste des auteurs ) .(en) Ralph Palmer Agnew , « Mean values and Frullani integrals », Proc. A.M.S. vol. 2, 1951 , p. 237-241 (lire en ligne ) (en) Juan Arias-de-Reyna, « On the Theorem of Frullani », Proc. A.M.S. vol. 109, no 1, 1990 , p. 165-175 (lire en ligne ) (en) Bruce C. Berndt , « Ramanujan's Quarterly Reports », Bulletin of the London Mathematical Society vol. 16, no 5, 1984 , p. 295-357 (lire en ligne ) p. 313-318 (en) G. Boros et V. Moll, Irresistible Integrals , 2004 (lire en ligne ) , p. 98Augustin-Louis Cauchy , « Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux différentielles partielles et à coefficients constants » , dans Journal de l'École polytechnique , 1823 (lire en ligne ) , p. 512-592 p. 576 (Œuvres complètes , série 2, tome 1, p. 275-357 : p. 339 )Augustin-Louis Cauchy, « Sur la transformation des fonctions d'une seule variable en intégrales doubles » , dans Exercices de mathématiques , 1827 (lire en ligne ) , p. 112-124 p. 122 (Œuvres complètes , série 2, tome 7, p. 146-159 : p. 157 )(en) A. M. Ostrowski , « On some generalizations of th Cauchy-Frullani integral », PNAS vol. 35, 1949 , p. 612-616 (lire en ligne )
Voir aussi
![{\displaystyle \left]0,+\infty \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010ebc9c2d0f3af5ce1c0594c44823f107968561)
