Hypothèse chinoise (mathématiques)

En théorie des nombres, l'hypothèse chinoise est une conjecture réfutée selon laquelle un entier ${\displaystyle n}$ est premier si et seulement si ${\displaystyle 2^{n}-2}$ est divisible par ${\displaystyle n}$, soit ${\displaystyle 2^{n}\equiv 2{\bmod {n}}}$. S'il est exact que si ${\displaystyle n}$ est premier, alors ${\displaystyle 2^{n}\equiv 2{\bmod {n}}}$ (c'est un cas particulier du petit théorème de Fermat), la réciproque (si ${\displaystyle 2^{n}\equiv 2{\bmod {n}}}$ alors ${\displaystyle n}$ est premier) est fausse, et l’hypothèse dans son ensemble est fausse. Le plus petit contre-exemple est donné par ${\displaystyle n}$ = 341 = 11×31. Les nombres composés ${\displaystyle n}$ pour lesquels ${\displaystyle 2^{n}-2}$ est divisible par ${\displaystyle n}$ sont appelés les nombres de Poulet. Ils constituent une classe particulière de nombres pseudo-premiers de Fermat.

Texte de la question 1401 parue en 1898 dans L'Intermédiaire des mathématiciens tome V, mentionnant le « problème chinois ».

Historique

Autrefois considérée à tort comme étant d'origine chinoise ancienne (et parfois encore aujourd'hui), l'hypothèse chinoise trouve en réalité son origine au milieu du XIX^e siècle dans les travaux de Li Shanlan (1811-1882), mathématicien de la dynastie Qing[1]. Ce dernier a été ensuite informé que sa déclaration était incorrecte et il l'a supprimée de son travail ultérieur, mais cela n'a pas suffi à empêcher la fausse proposition d'apparaître ailleurs sous son nom[1]; une erreur de traduction ultérieure dans un article du mathématicien britannique James Jeans de 1898[2] a daté la conjecture de l'époque confucianiste et a donné naissance au mythe d'origine antique[1],[3].

Lien externe

• (en) Eric W. Weisstein, « Chinese hypothesis », sur MathWorld

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Chinese hypothesis » (voir la liste des auteurs).

1. Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes, Springer Science & Business Media, 2006, 88–89 p. (ISBN 9780387218205, lire en ligne )
2. (en) James H. Jeans, « The converse of Fermat's theorem », Messenger of Mathematics, n^o 27,‎ 1898, p. 174
3. Joseph Needham, Science and Civilisation in China, vol. 3: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, Cambridge, England, Cambridge University Press, 1959, p. 54 (all of footnote d)