Le gaz parfait relativiste est un modèle de théorie cinétique des gaz qui considère un gaz composé de particules relativistes n'interagissant pas entre elles. Contrairement au gaz parfait « classique » qu'il généralise, il prend en compte les particules animées de vitesses proches de celle de la lumière .
Gaz non quantique
Fonction de partition
La fonction de partition du gaz parfait relativiste monoatomique (particules sans degrés de liberté internes comme la rotation ou vibration des particules) est :
Z
=
1
N
!
{
4
π
V
(
m
c
h
)
3
exp
(
u
)
K
2
(
u
)
u
}
N
{\displaystyle Z={\frac {1}{N!}}\left\{4\pi V\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}\exp(u){\frac {K_{2}(u)}{u}}\right\}^{N}}
où :
u
=
m
c
2
k
T
{\displaystyle u={\frac {\,mc^{2}}{kT}}}
K
n
(
x
)
=
2
n
x
n
Γ
(
n
+
1
/
2
)
π
∫
0
+
∞
cos
ζ
d
ζ
(
ζ
2
+
x
2
)
n
+
1
/
2
{\displaystyle K_{n}(x)={\frac {2^{n}x^{n}\Gamma (n+1/2)}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\cos \zeta \,{\text{d}}\zeta }{(\zeta ^{2}+x^{2})^{n+1/2}}}}
fonction de Bessel modifiée de seconde espèce),avec
La fonction de partition dans l'ensemble canonique d'un gaz parfait relativiste à 1 particule est :
Z
(
T
,
V
,
1
)
=
1
h
3
∫
V
∫
R
3
exp
−
E
k
T
d
3
q
d
3
p
{\displaystyle Z(T,V,1)={\frac {1}{h^{3}}}\int _{V}\int _{\mathbb {R} ^{3}}\exp -{\frac {E}{kT}}\,{\text{d}}^{3}q\,{\text{d}}^{3}p}
où
E
=
m
c
2
{
1
+
(
p
m
c
)
2
−
1
}
{\displaystyle E=mc^{2}\left\{{\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}-1\right\}}
est l'énergie cinétique de la particule. En séparant les variables, on obtient
Z
(
T
,
V
,
1
)
=
4
π
V
h
3
exp
u
∫
0
+
∞
exp
[
−
u
1
+
(
p
m
c
)
2
]
p
2
d
p
{\displaystyle Z(T,V,1)={\frac {4\pi V}{h^{3}}}\exp u\int _{0}^{+\infty }\exp \left[-u{\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}\right]p^{2}\,{\text{d}}p}
en posant
u
=
m
c
2
/
k
T
{\displaystyle u=mc^{2}/kT}
ζ
=
1
+
(
p
m
c
)
2
{\displaystyle \zeta ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}}
donne
Z
(
T
,
V
,
1
)
=
4
π
V
(
m
c
h
)
3
∫
1
+
∞
ζ
ζ
2
−
1
exp
(
−
u
ζ
)
⏟
=
I
d
ζ
{\displaystyle Z(T,V,1)=4\pi V\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}\underbrace {\int _{1}^{+\infty }\zeta {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\exp(-u\zeta )} _{=I}\,{\text{d}}\zeta }
Par parties[ 3]
I
=
2
3
[
(
ζ
2
−
1
)
3
/
2
exp
(
−
u
ζ
)
]
1
+
∞
⏟
=
0
+
2
3
∫
1
+
∞
(
ζ
2
−
1
)
3
/
2
exp
(
−
u
ζ
)
d
ζ
⏟
=
3
2
K
2
(
u
)
{\displaystyle I=\underbrace {{\frac {2}{3}}{\Big [}(\zeta ^{2}-1)^{3/2}\exp(-u\zeta ){\Big ]}_{1}^{+\infty }} _{=0}+{\frac {2}{3}}\underbrace {\int _{1}^{+\infty }\left(\zeta ^{2}-1\right)^{3/2}\exp(-u\zeta )\,{\text{d}}\zeta } _{={\frac {3}{2}}K_{2}(u)}}
Le résultat se trouve en utilisant l'absence d'interaction entre particules :
Z
(
T
,
V
,
N
)
=
Z
(
T
,
V
,
1
)
N
N
!
{\displaystyle Z(T,V,N)={\frac {Z(T,V,1)^{N}}{N!}}}
Variables thermodynamiques
Variables thermodynamiques, dans l'approximation d'un grand nombre de particules.
Variable
Expression générale
Limite classique
Limite ultra-relativiste
énergie interne U [ 4]
N
m
c
2
[
K
1
(
u
)
K
2
(
u
)
+
3
u
−
1
]
{\displaystyle Nmc^{2}\left[{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}+{\frac {3}{u}}-1\right]}
3
2
N
k
T
{\displaystyle {\frac {3}{2}}NkT}
3
N
k
T
{\displaystyle 3NkT\,}
énergie libre F [ 4]
−
N
k
T
{
log
[
4
π
V
N
(
m
c
h
)
3
K
2
(
u
)
u
]
+
1
}
−
N
m
c
2
{\displaystyle -NkT\left\{\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]+1\right\}-Nmc^{2}}
enthalpie H
N
m
c
2
[
K
1
(
u
)
K
2
(
u
)
+
4
u
−
1
]
{\displaystyle Nmc^{2}\left[{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}+{\frac {4}{u}}-1\right]}
5
2
N
k
T
{\displaystyle {\frac {5}{2}}NkT}
4
N
k
T
{\displaystyle 4NkT\,}
enthalpie libre G
−
N
k
T
log
[
4
π
V
N
(
m
c
h
)
3
K
2
(
u
)
u
]
−
N
m
c
2
{\displaystyle -NkT\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]-Nmc^{2}}
capacité calorifique CV [ 4]
N
k
u
{
u
+
3
u
−
K
1
(
u
)
K
2
(
u
)
[
3
+
u
K
1
(
u
)
K
2
(
u
)
]
}
{\displaystyle Nku\left\{u+{\frac {3}{u}}-{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\left[3+u{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\right]\right\}}
3
2
N
k
{\displaystyle {\frac {3}{2}}Nk}
3
N
k
{\displaystyle 3Nk\,}
capacité calorifique CP
N
k
u
{
u
+
4
u
−
K
1
(
u
)
K
2
(
u
)
[
3
+
u
K
1
(
u
)
K
2
(
u
)
]
}
{\displaystyle Nku\left\{u+{\frac {4}{u}}-{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\left[3+u{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\right]\right\}}
5
2
N
k
{\displaystyle {\frac {5}{2}}Nk}
4
N
k
{\displaystyle 4Nk\,}
potentiel chimique μ [ 4]
−
k
T
log
[
4
π
V
N
(
m
c
h
)
3
K
2
(
u
)
u
]
−
m
c
2
{\displaystyle -kT\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]-mc^{2}}
entropie S [ 4]
N
k
{
log
[
4
π
V
N
(
m
c
h
)
3
K
2
(
u
)
u
]
+
u
K
3
(
u
)
K
2
(
u
)
}
{\displaystyle Nk\left\{\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]+u{\frac {K_{3}(u)}{K_{2}(u)}}\right\}}
pression P [ 4]
N
k
T
V
{\displaystyle {\frac {NkT}{V}}}
N
k
T
V
{\displaystyle {\frac {NkT}{V}}}
N
k
T
V
{\displaystyle {\frac {NkT}{V}}}
Bibliographie
Walter Greiner, Ludwig Neise, Horst Stöcker, Hubert Curien, H. Aksas (trad. de l'allemand), Thermodynamique et mécanique statistique , Berlin/Heidelberg/Paris etc., Springer, 1999 , 532 p. (ISBN 3-540-66166-2
![{\displaystyle Z(T,V,1)={\frac {4\pi V}{h^{3}}}\exp u\int _{0}^{+\infty }\exp \left[-u{\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}\right]p^{2}\,{\text{d}}p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153b6ff1519cc48b3455ee056d05f5b9a6921665)
![{\displaystyle I=\underbrace {{\frac {2}{3}}{\Big [}(\zeta ^{2}-1)^{3/2}\exp(-u\zeta ){\Big ]}_{1}^{+\infty }} _{=0}+{\frac {2}{3}}\underbrace {\int _{1}^{+\infty }\left(\zeta ^{2}-1\right)^{3/2}\exp(-u\zeta )\,{\text{d}}\zeta } _{={\frac {3}{2}}K_{2}(u)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e07a7b6ae24997004dcb6406c7579239bea300)
![{\displaystyle Nmc^{2}\left[{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}+{\frac {3}{u}}-1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef8dac2eceae86f62d9b18373c93b0677de24b3)
![{\displaystyle -NkT\left\{\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]+1\right\}-Nmc^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44455003f7c157b3fe1f7ea1ee5e70c51150ab08)
![{\displaystyle Nmc^{2}\left[{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}+{\frac {4}{u}}-1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/554792184e830ef79ea50ffcb109b61e206d2b54)
![{\displaystyle -NkT\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]-Nmc^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2896f57b3890f1fea386803f4e452186a4108a7)
![{\displaystyle Nku\left\{u+{\frac {3}{u}}-{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\left[3+u{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6442b27e94490ebb18a83b924a12ab061eea89)
![{\displaystyle Nku\left\{u+{\frac {4}{u}}-{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\left[3+u{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c3acdf3571b25a664e9e1631ad700b588fd7e1e)
![{\displaystyle -kT\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]-mc^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17de38ad8631d1857186e28659d20365dc906c41)
![{\displaystyle Nk\left\{\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]+u{\frac {K_{3}(u)}{K_{2}(u)}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c45ec3162e2f3e8e81d3c4d8809ac0309f62db88)
