Gauthier Minguillón naît dans une famille d'origine espagnole. Son grand-père paternel est originaire de Castejón de Sos, à proximité de Benasque; tandis que sa grand-mère paternelle est catalane[2]. Enfant, il passe beaucoup de temps à Castejón de Sos, et se voit inculquer par son père la culture espagnole et l'amour du rugby[2].
En 2016, non conservé à Bordeaux, il rejoint le Stade langonnais en Fédérale 1[6]. Ce choix lui permet de poursuivre ses études sur Bordeaux pendant un an[7], tout en gagnant de l'expérience. Il dispute 11 rencontres sous le maillot de Langon[1], avant de rejoindre l'Avenir valencien, toujours en Fédérale 1[7]. Pendant deux saisons, il va disposer d'un fort de temps au poste d'arrière[1]. Il progresse beaucoup pendant ces saisons en Fédérale 1, qui lui apportent « de la confiance dans [son] jeu »[7]. Ses belles prestations lui permettre de rejoindre le monde professionnel, en signant en 2019 au Stade aurillacois, pensionnaire de Pro D2[7].
S'il est arrière de formation, sa polyvalence est un atout fortement apprécié. Ainsi à Aurillac, il évolue aussi bien à l'arrière, qu'au centre ou à l'aile[1]. En sélection, il est apprécié par le sélectionneur espagnol Santiago Santos pour ses qualités, notamment à l'aile où il peut faire parler sa vitesse[2]. Il participe activement à la campagne qualificative pour la Coupe du monde 2023, où il évolue à l'aile, concurrencé à l'arrière par Charly Malié et John-Wessel Bell[2].