Gamme diatonique de Ptolémée

Gamme diatonique de do majeur, à tempérament égal ^Play et la version ptolémaïque, à « intonation juste » ^Play.

L'échelle diatonique de Ptolémée, également connue sous le nom de séquence ptolémaïque[1], échelle majeure à intonation juste[2],[3],[4], ou échelle diatonique syntonique, est un système d'accord de l'échelle diatonique proposé par Claude Ptolémée[5], cité par Zarlino comme étant la seule échelle pouvant être naturellement chantée, et correspondant à l'intonation juste moderne[6]. Cette échelle est également reprise par Giuseppe Tartini[7].

C'est l'équivalent occidental de la gamme indienne svara gandharam, qui comporte exactement les mêmes intervalles.

Il est produit par un tétracorde composé d'un ton supérieur (9:8), d'un ton inférieur (10:9) et d'un demi-ton diatonique (16:15)[6].

C'est ce qu'on appelle le tétracorde diatonique « intense » de Ptolémée, par opposition au tétracorde diatonique « doux » de Ptolémée, formé par des intervalles de 21:20, 10:9 et 8:7[8]. La structure de l'échelle diatonique « intense » est illustrée dans les tableaux ci-dessous, où J signifie un ton plus grand, t est pour un ton réduit et s, pour un demi-ton :

Note	Nom	Do		Ré		Mi		Fa		Sol		La		Si		Do
	Appellation anglo-saxonne	C		D		E		F		G		A		B		C
	Rapport à Do	1:1		9:8		5:4		4:3		3:2		5:3		15:8		2:1
	Harmonique	^24 ^24		^27 ^27		^30 ^30		^32 ^32		^36 ^36		^40 ^40		^45 ^45		^48 ^48
	millièmes	0		204		386		498		702		884		1088		1200
écarts	Nom		J		t		s		J		t		J		s
	Rapport		9:8		10:9		16:15		9:8		10:9		9:8		16:15
	millièmes		204		182		112		204		182		204		112

Note	Nom	La		Si		Do		Ré		Mi		Fa		Sol		La
	Rapport à La	1:1		9:8		6:5		4:3		3:2		8:5		9:5		2:1
	Harmonique de la fondamentale Si	120		135		144		160		180		192		216		240
	millièmes	0		204		316		498		702		814		1018		1200
écart	Nom		J		s		t		J		s		J		t
	Rapport		9:8		16:15		10:9		9:8		16:15		9:8		10:9
	millièmes		204		112		182		204		112		204		182

Comparaison avec d'autres gammes diatoniques

Pour obtenir une gamme « intense » de Ptolémée à partir d'une gamme tempérée: abaisser les hauteurs des notes Mi, La et Si de l'accord pythagoricien d'un comma syntonique, 81/80, pour donner une intonation juste.

Intervalles entre les notes (intervalles du loup en gras):

	Do	Ré	Mi	Fa	Sol	La	Si	Do'	Ré'	Mi'	Fa'	Sol'	La'	Si'	Do"
Do	1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8	2	9/4	5/2	8/3	3	10/3	15/4	4
Ré	8/9	1	10/9	32/27	4/3	40/27	5/3	16/9	2	20/9	64/27	8/3	80/27	30/9	32/9
Mi	4/5	9/10	1	16/15	6/5	4/3	3/2	8/5	9/5	2	32/15	12/5	8/3	3	16/5
Fa	3/4	27/32	15/16	1	9/8	5/4	45/32	3/2	27/16	15/8	2	9/4	5/2	45/16	3
Sol	2/3	3/4	5/6	8/9	1	10/9	5/4	4/3	3/2	5/3	16/9	2	20/9	5/2	8/3
La	3/5	27/40	3/4	4/5	9/10	1	9/8	6/5	27/20	3/2	8/5	9/5	2	9/4	12/5
Si	8/15	9/15	2/3	32/45	4/5	8/9	1	16/15	6/5	4/3	64/45	8/5	16/9	2	32/15
Do'	1/2	9/16	5/8	2/3	3/4	5/6	15/16	1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8	2

Échelle diatonique de Pythagore sur Do ^Play ^Play. Notation de Johnston ; + indique le comma syntonique.

Comparativement à l'accord de Pythagore, alors que les deux ne fournissent que des quartes et des quintes parfaites, l'accord ptolémaïque fournit aussi des tierces dites « justes », plus douces et plus faciles à accorder[9].

Notez que Ré–Fa est une tierce mineure pythagoricienne (32:27), Ré–La est une quinte défectueuse (40:27), Fa–Ré est une sixte majeure pythagoricienne (27:16) et La–Ré est une quarte défectueuse (27:20). Tous ces éléments diffèrent de leurs justes homologues d'un comma syntonique (81:80).

Fa-Si est un triton (plus précisément, la quarte augmentée), ici 45/32.

Cette gamme peut également être considérée comme dérivée de l'accord majeur, et des accords majeurs au-dessus et au-dessous : Fa-La-Do ; Do-Mi-Sol ; Sol-Si-Ré.

Références

1. Partch, Harry (1979). Genesis of a Music, pp. 165, 173. (ISBN 978-0-306-80106-8).
2. Murray Campbell, Clive Greated (1994). The Musician's Guide to Acoustics, pp. 172–73. (ISBN 978-0-19-816505-7).
3. Wright, David (2009). Mathematics and Music, pp. 140–41. (ISBN 978-0-8218-4873-9).
4. Johnston, Ben and Gilmore, Bob (2006). "A Notation System for Extended Just Intonation" (2003), "Maximum clarity" and Other Writings on Music, p. 78. (ISBN 978-0-252-03098-7).
5. see John Wallis, Opera Mathematica, Vol. III, Oxford, 1699, p. 39 (Contains Harmonics by Claudius Ptolemy.)
6. Chisholm, Hugh (1911). The Encyclopædia Britannica, Vol.28, p. 961. The Encyclopædia Britannica Company.
7. Dr. Crotch (October 1, 1861). "On the Derivation of the Scale, Tuning, Temperament, the Monochord, etc.", The Musical Times, p. 115.
8. Chalmers, John H. Jr. (1993). Divisions of the Tetrachord. Hanover, NH: Frog Peak Music. (ISBN 0-945996-04-7) Chapter 2, Page 9
9. Johnston, Ben and Gilmore, Bob (2006). "Maximum clarity" and Other Writings on Music, p. 100. (ISBN 978-0-252-03098-7).