Formules trigonométriques en kπ/9

Cet article présente des formules trigonométriques faisant intervenir des angles multiples de π/9.

Valeurs approchées

Le nombre ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}=\cos 20^{\circ }=\sin {\frac {7\pi }{18}}=\sin 70^{\circ }}$ a pour développement décimal : ${\displaystyle 0{,}9396926207...}$ , suite A019879 de l'OEIS.

Le nombre ${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{9}}=\sin 20^{\circ }=\cos {\frac {7\pi }{18}}=\cos 70^{\circ }}$ a pour développement décimal : ${\displaystyle 0{,}342020143...}$ , suite A019829 de l'OEIS.

Constructibilité

Le nombre ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}}$ n'est pas constructible (on peut déduire ce cas particulier du théorème de Gauss-Wantzel, en utilisant le théorème de Wantzel et l'équation de degré 3 ci-dessous), ce qui revient à dire qu'il n'existe pas de construction à la règle et au compas de l'ennéagone régulier.

Expression par radicaux

Le nombre ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}}$ est exprimable par radicaux complexes : ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{{\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi /3}}}+{\sqrt[{3}]{{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\pi /3}}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}\left({\sqrt[{3}]{1+{\rm {i}}{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{1-{\rm {i}}{\sqrt {3}}}}\right)}$

mais n'est pas exprimable par radicaux réels. C'est le casus irreducibilis.

Polynômes minimaux

• L'équation ${\displaystyle x^{3}-3x-1=0}$ a pour solutions :

  ${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{9}},\quad -2\cos {\frac {2\pi }{9}},\quad -2\cos {\frac {4\pi }{9}}}$ ,

  ce qui montre que ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}}$ est la moitié d'un entier algébrique.

Démonstration

Remarquons que ${\displaystyle \cos {\frac {5\pi }{9}}=\cos \left(\pi -{\frac {4\pi }{9}}\right)=-\cos {\frac {4\pi }{9}}}$ ; ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{9}}}$ est donc solution de

${\displaystyle \cos 5\theta =-\cos 4\theta \quad (1)}$ .

Cherchons les autres. L'équation (1) s'écrit ${\displaystyle \cos 5\theta =\cos(\pi -4\theta )}$ qui équivaut à ${\displaystyle 5\theta =\pi -4\theta +2k\pi }$ ou ${\displaystyle 5\theta =4\theta -\pi +2k\pi }$, et on obtient ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{9}}+2k{\frac {\pi }{9}}}$ ou ${\displaystyle \theta =-\pi +2k\pi }$.

Si on pose ${\displaystyle x=\cos \theta }$, on remarque donc que (1) équivaut à ${\displaystyle x=\cos {\frac {\pi }{9}},\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}},\cos {\frac {5\pi }{9}}=-\cos {\frac {4\pi }{9}},\cos {\frac {7\pi }{9}}=-\cos {\frac {2\pi }{9}}\ {\text{ ou }}\ -1}$.

Or ${\displaystyle \cos 5\theta =16x^{5}-20x^{3}+5x}$ et ${\displaystyle \cos 4\theta =8x^{4}-8x^{2}+1}$.

Donc (1) équivaut à ${\displaystyle 16x^{5}+8x^{4}-20x^{3}-8x^{2}+5x+1=0}$. Les points ${\displaystyle -1,{\tfrac {1}{2}}}$ étant solutions, on peut factoriser par ${\displaystyle (x+1)(2x+1)}$ et on obtient que (1) équivaut à

${\displaystyle (x+1)(2x+1)(8x^{3}-6x-1)=0}$.

En remplaçant ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle x/2}$ , on obtient que ${\displaystyle x^{3}-3x-1=0}$ a bien pour solutions ${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{9}},-2\cos {\frac {2\pi }{9}},-2\cos {\frac {4\pi }{9}}}$.

• L'équation ${\displaystyle x^{3}-9x+9=0}$ a pour solutions :

${\displaystyle 2{\sqrt {3}}\sin {\frac {\pi }{9}},2{\sqrt {3}}\sin {\frac {2\pi }{9}},-2{\sqrt {3}}\sin {\frac {4\pi }{9}}}$ , ce qui montre que ${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{9}}}$ est le quotient d'un entier algébrique par ${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$.

Démonstration succincte

En utilisant les polynômes de Tchebychev et en factorisant on obtient ${\displaystyle \sin 9t=x(4x^{2}-3)(64x^{6}-96x^{4}+36x^{2}-3)}$ où ${\displaystyle x=\sin t}$. En changeant ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle x/(2{\sqrt {3}})}$ dans ${\displaystyle 64x^{6}-96x^{4}+36x^{2}-3}$, on obtient ${\displaystyle (x^{6}-18x^{4}+81x^{2}-81)/27}$,

et ${\displaystyle x^{6}-18x^{4}+81x^{2}-81}$ se factorise bien en ${\displaystyle (x^{3}-9x-9)(x^{3}-9x+9)}$.

• L'équation ${\displaystyle x^{3}-9x^{2}-9x+9=0}$ a pour solutions :

${\displaystyle {\sqrt {3}}\tan {\frac {\pi }{9}},-{\sqrt {3}}\tan {\frac {2\pi }{9}},{\sqrt {3}}\tan {\frac {4\pi }{9}}}$ , ce qui montre que ${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{9}}}$ est le quotient d'un entier algébrique par ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ .

Démonstration

En utilisant la formule ${\displaystyle \tan nx={\frac {{\text{Im}}(1+i\tan x)^{n}}{{\text{Re}}(1+i\tan x)^{n}}}}$, on obtient que ${\displaystyle \tan 9\theta ={\frac {t(t^{8}-36t^{6}+126t^{4}-84t^{2}+9)}{1+...}}}$, où ${\displaystyle t=\tan \theta }$.

Comme ${\displaystyle \tan 9\theta =0\Leftrightarrow \theta =k\pi /9}$, les 8 solutions de ${\displaystyle t^{8}-36t^{6}+126t^{4}-84t^{2}+9=0}$ sont ${\displaystyle \pm \tan \pi /9,\pm \tan 2\pi /9,\pm \tan \pi /3,\pm \tan 4\pi /9}$.

En remplaçant ${\displaystyle t}$ par ${\displaystyle x{\sqrt {3}}}$, on obtient que ${\displaystyle x^{8}-108x^{6}+1134x^{4}-2268x^{2}+729=0}$ a pour solutions ${\displaystyle \pm {\sqrt {3}}\tan \pi /9,\pm {\sqrt {3}}\tan 2\pi /9,\pm {\sqrt {3}}\tan 3\pi /9=\pm 3,\pm {\sqrt {3}}\tan 4\pi /9}$.

Or ${\displaystyle x^{8}-108x^{6}+1134x^{4}-2268x^{2}+729=(x^{2}-9)(x^{3}+9x^{2}-9x-9)(x^{3}-9x^{2}-9x+9)}$.

Une étude permet de déterminer que les solutions de ${\displaystyle x^{3}-9x^{2}-9x+9=0}$ sont ${\displaystyle {\sqrt {3}}\tan {\frac {\pi }{9}},-{\sqrt {3}}\tan {\frac {2\pi }{9}},{\sqrt {3}}\tan {\frac {4\pi }{9}}}$ et celles de ${\displaystyle x^{3}+9x^{2}-9x-9=0}$ leurs opposées.

Formules homogènes

On en déduit les fonctions symétriques élémentaires associées aux solutions des équations précédentes :

• ${\displaystyle {\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{9}}-\cos {\frac {2\pi }{9}}-\cos {\frac {4\pi }{9}}=0\\\cos {\frac {\pi }{9}}\cos {\frac {2\pi }{9}}\cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {1}{8}}\\\cos {\frac {\pi }{9}}\cos {\frac {2\pi }{9}}+\cos {\frac {\pi }{9}}\cos {\frac {4\pi }{9}}-\cos {\frac {2\pi }{9}}\cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {3}{4}}\end{cases}}}$

La deuxième relation, qui s'écrit aussi ${\displaystyle \cos(20^{\circ })\cos(40^{\circ })\cos(80^{\circ })={\frac {1}{8}}}$, s'appelle la première loi de Morrie.

• ${\displaystyle {\begin{cases}\sin {\frac {\pi }{9}}+\sin {\frac {2\pi }{9}}-\sin {\frac {4\pi }{9}}=0\\\sin {\frac {\pi }{9}}\sin {\frac {2\pi }{9}}\sin {\frac {4\pi }{9}}={\frac {\sqrt {3}}{8}}\\\sin {\frac {\pi }{9}}\sin {\frac {2\pi }{9}}-\sin {\frac {\pi }{9}}\sin {\frac {4\pi }{9}}-\sin {\frac {2\pi }{9}}\sin {\frac {4\pi }{9}}=-{\frac {3}{4}}\end{cases}}}$

La deuxième relation, qui s'écrit aussi ${\displaystyle \sin(20^{\circ })\sin(40^{\circ })\sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8}}}$, s'appelle la deuxième loi de Morrie.

• ${\displaystyle {\begin{cases}\tan {\frac {\pi }{9}}-\tan {\frac {2\pi }{9}}+\tan {\frac {4\pi }{9}}=3{\sqrt {3}}\\\tan {\frac {\pi }{9}}\tan {\frac {2\pi }{9}}\tan {\frac {4\pi }{9}}={\sqrt {3}}\\\tan {\frac {\pi }{9}}\tan {\frac {2\pi }{9}}-\tan {\frac {\pi }{9}}\tan {\frac {4\pi }{9}}+\tan {\frac {2\pi }{9}}\tan {\frac {4\pi }{9}}=3\end{cases}}}$

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Trigonometry Angles--Pi/9 », sur MathWorld

Voir aussi

• Formules trigonométriques en kπ/7
• Polynômes minimaux des valeurs spéciales trigonométriques
• Identités trigonométriques