Formule des probabilités composées

En mathématiques, la formule des probabilités composées (ou formule des probabilités conditionnelles en cascade) permet de calculer la probabilité d’une intersection d’évènements (non nécessairement indépendants) à l’aide de probabilités conditionnelles.

Soient ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}$ des évènements dont l’intersection est de probabilité non nulle[1].

On a ${\displaystyle \mathbf {P} (A_{1}\cap \cdots \cap A_{n})=\mathbf {P} (A_{1})\times \mathbf {P} (A_{2}|A_{1})\times \mathbf {P} (A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\times \cdots \times \mathbf {P} (A_{n}|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1})}$.

Ce résultat se démontre directement par récurrence. Il justifie le calcul des probabilités à l’aide d’un arbre de probabilité.

La formule des probabilités composées est notamment utilisée dans le cadre de processus stochastiques discrets.

Voir aussi

• Formule des probabilités totales

Notes et références

1. Plus généralement, la formule est valable dès lors que les probabilités conditionnelles ont un sens, c’est-à-dire si l’intersection des n−1 premiers évènements ${\displaystyle A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1}}$ est de probabilité non nulle. Si la probabilité de l’intersection des n évènements est nulle, alors la dernière probabilité conditionnelle aussi donc l’égalité se réduit simplement à 0 = 0.