Fonction porte

Graphe de la fonction porte.

La fonction porte, généralement notée Π, est la fonction indicatrice de l'intervalle réel [–1/2, 1/2], c'est-à-dire la fonction mathématique par laquelle un nombre réel a une image nulle, sauf s'il est compris entre –1/2 et 1/2, auquel cas son image vaut 1. Son graphe a une forme similaire à celle d'une porte, d'où son nom.

Définition

La fonction porte ${\displaystyle \Pi }$, définie sur les réels et à valeurs dans ${\displaystyle \{0,1\}}$, est définie par :

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \quad \Pi (t)={\begin{cases}1&{\text{si }}-1/2\leq t\leq 1/2\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$

Par généralisation, on appelle également fonction porte toute fonction déduite par translation et/ou dilatation de la fonction définie ci-dessus. Les notations varient.

La fonction porte peut s'exprimer à l'aide de la fonction de Heaviside par :

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \quad \Pi (t)=H\left(t+{\frac {1}{2}}\right)-H\left(t-{\frac {1}{2}}\right)}$.

On peut translater la fonction porte en additionnant ou en soustrayant à t un facteur de translation (attention : la soustraction induit un retard et l'addition induit un avancement par rapport à 0).

On peut élargir la porte de [–1/2, 1/2] à [–a/2, a/2] en divisant t par a dans l'expression de la porte originale.

La dérivée de la fonction porte au sens des distributions s'exprime avec la fonction de Dirac ${\displaystyle \delta (t+1/2)-\delta (t-1/2)}$.

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier de la fonction porte définie ci-dessus est un sinus cardinal :

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\Pi )(f)=\mathrm {sinc} (\pi f)}$[1].

Applications

La fonction porte sert de base pour définir la fonction densité d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue : si X est une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue sur [a , b], alors sa fonction densité est :

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{b-a}}\Pi \left({\frac {2x-a-b}{2(b-a)}}\right).}$

Note

1. On en trouvera deux démonstrations dans cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Voir aussi

• Signal carré
• Fonction de Heaviside
• Approximation sigma
• Fonction triangulaire