Tracé de la fonction polygamma le long de l'axe des réels avec en orange m = 0, en jaune m = 1, en vert m = 2, en rouge m = 3 et en bleu m = 4. En mathématiques , la fonction polygamma d'ordre m est une fonction spéciale notée[ 1]
ψ
m
(
z
)
{\displaystyle \psi _{m}(z)}
ψ
(
m
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)}
m +1e dérivée du logarithme de la fonction gamma
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
ψ
m
(
z
)
=
(
d
d
z
)
m
+
1
ln
Γ
(
z
)
{\displaystyle \psi _{m}(z)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)^{m+1}\ln \Gamma (z)\qquad }
Ce qui équivaut à la dérivée m e de la dérivée logarithmique de la fonction gamma
d
d
z
ln
Γ
(
z
)
=
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}\,}
ψ
m
(
z
)
=
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
d
d
z
)
m
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
{\displaystyle \psi _{m}(z)=\psi ^{(m)}(z)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)^{m}{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}\,}
ψ
0
(
z
)
=
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
{\displaystyle \psi _{0}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}\,}
fonction digamma
ψ
(
z
)
{\displaystyle \psi (z)}
La dérivée de la fonction gamma est donc
Γ
′
(
z
)
=
ψ
(
z
)
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma '(z)=\psi (z)\Gamma (z)}
ψ
1
(
z
)
=
ψ
′
(
z
)
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\psi '(z)\,}
ψ
1
{\displaystyle \psi _{1}}
ψ
(
1
)
{\displaystyle \psi ^{(1)}}
fonction trigamma .La dérivée seconde de la fonction gamma est donc
Γ
″
(
z
)
=
(
ψ
0
2
(
z
)
+
ψ
1
(
z
)
)
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma ''(z)=(\psi _{0}^{2}(z)+\psi _{1}(z))\Gamma (z)}
La fonction polygamma peut être représentée par :
ψ
m
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
∫
0
∞
t
m
e
−
z
t
1
−
e
−
t
d
t
.
{\displaystyle \psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}\mathrm {e} ^{-zt}}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}~\mathrm {d} t.}
Ceci n'est valable que pour Re (z ) > 0 et m > 0m = 0fonction digamma .
La représentation du logarithme de la fonction gamma et des premiers ordres de la fonction polygamma dans le plan complexe est :
ln
Γ
(
z
)
{\displaystyle \ln \Gamma (z)}
ψ
0
(
z
)
{\displaystyle \psi _{0}(z)}
ψ
1
(
z
)
{\displaystyle \psi _{1}(z)}
ψ
2
(
z
)
{\displaystyle \psi _{2}(z)}
ψ
3
(
z
)
{\displaystyle \psi _{3}(z)}
ψ
4
(
z
)
{\displaystyle \psi _{4}(z)}
Elle vérifie la relation de récurrence
ψ
m
(
z
+
1
)
=
ψ
m
(
z
)
+
(
−
1
)
m
m
!
z
−
(
m
+
1
)
.
{\displaystyle \psi _{m}(z+1)=\psi _{m}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}.\,}
Le théorème de multiplication (en)
k
m
ψ
m
−
1
(
k
z
)
=
∑
n
=
0
k
−
1
ψ
m
−
1
(
z
+
n
k
)
,
{\displaystyle k^{m}\psi _{m-1}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi _{m-1}\left(z+{\frac {n}{k}}\right),}
valable pour m > 1m = 0fonction digamma est :
k
(
ψ
(
k
z
)
−
ln
(
k
)
)
=
∑
n
=
0
k
−
1
ψ
(
z
+
n
k
)
.
{\displaystyle k(\psi (kz)-\ln(k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}
La fonction polygamma a pour représentation en série :
ψ
m
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
m
!
∑
k
=
0
∞
1
(
z
+
k
)
m
+
1
,
{\displaystyle \psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}},}
qui n'est valable que pour m > 0z qui n'est pas égal à un nombre entier négatif. Cette représentation peut être écrite avec la fonction zêta de Hurwitz par
ψ
m
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
m
!
ζ
(
m
+
1
,
z
)
.
{\displaystyle \psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).\,}
On peut en conclure que la fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma à n'importe quel ordre appartenant à ℂ \ (–ℕ).
La série de Taylor au point z = 1
ψ
m
(
z
+
1
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
m
+
k
+
1
(
m
+
k
)
!
ζ
(
m
+
k
+
1
)
z
k
k
!
,
{\displaystyle \psi _{m}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},\,}
qui converge pour |z | < 1 . Ici, ζ est la fonction zêta de Riemann .
