En mathématiques , une fonction élémentaire est une fonction d'une variable construite à partir d'un nombre fini d'exponentielles , logarithmes , constantes , et racines n -ièmes par composition et combinaisons utilisant les quatre opérations élémentaires (+ – × ÷). En permettant à ces fonctions (et les constantes) d'être complexes , les fonctions trigonométriques et leurs réciproques sont élémentaires.
Les fonctions élémentaires ont été d'abord introduites par Joseph Liouville dans une série de publications de 1833 à 1841 [ 1] . Un traitement algébrique de ces fonctions a été démarré par Joseph Ritt dans les années 1930[ 2] .
Exemples
Certains exemples de fonctions élémentaires sont :
addition, ex. : x + 3 ;
multiplication, ex. : 8x ;
(
x
+
sin
2
-->
x
)
2
(
sin
-->
(
x
2
)
+
x
sin
-->
(
x
3
)
)
;
{\displaystyle \left(x+\sin ^{2}x\right)^{2}\left({\dfrac {\sin(x^{2})+x}{\sin(x^{3})}}\right)~;}
− − -->
i
ln
-->
(
x
+
i
1
− − -->
x
2
)
.
{\displaystyle -{\rm {i}}\ln(x+{\rm {i}}{\sqrt {1-x^{2}}}).}
Deux exemples de fonctions non élémentaires sont la fonction d'erreur de Gauss
erf
-->
(
x
)
=
2
π π -->
∫ ∫ -->
0
x
e
− − -->
t
2
d
t
{\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}
et la fonction sinus intégral
Si
-->
(
x
)
=
∫ ∫ -->
0
x
sin
-->
t
t
d
t
.
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\mathrm {d} t.}
Ce fait résulte du théorème de Liouville ; l'algorithme de Risch permet en général de déterminer si une fonction élémentaire donnée possède ou non une primitive élémentaire.
Notes
Références
Joseph Liouville , « Premier mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique », Journal de l'École Polytechnique , vol. tome XIV, 1833a, p. 124-148 (lire en ligne ) .
Joseph Liouville , « Second mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique », Journal de l'École Polytechnique , vol. tome XIV, 1833b, p. 149-193 (lire en ligne ) .
Joseph Liouville , « Note sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique », Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 10, 1833c, p. 347-359 (lire en ligne ) .
Joseph Ritt , Differential Algebra , AMS , 1950 (lire en ligne ) .
Maxwell Rosenlicht , « Integration in finite terms », American Mathematical Monthly , vol. 79, no 9, 1972 , p. 963–972 (DOI 10.2307/2318066 , JSTOR 2318066 ) .
Voir aussi