Dans le domaine temporel (ou spatial s'il s'agit d'une image), un filtre de Gabor est le produit d'une sinusoïde complexe et d'une enveloppe gaussienne :
Ce qui donne en deux dimensions :
Il peut être pratique de la voir comme un couple de fonctions réelles, déphasées de . Il s'agit alors de la partie réelle et la partie imaginaire de la fonction complexe.
Dans le cas du traitement d'image (deux dimensions) cela donne par exemple :
où les variables a et b déterminent la fréquence et l'orientation du filtre. Le terme σ2 détermine son étendue en modifiant la variance de la gaussienne.
Dans les transformées de Fourier, les compromis temps-fréquence optimaux pour minimiser les problèmes liés au principe d'incertitude sont obtenus pour les signaux gaussiens. Gabor a donc proposé une approche de l'analyse temps-fréquence non plus par des fenêtres rectangles, à durée finie, mais par des signaux gaussiens[1].
Il apparaît rapidement deux problèmes avec cette approche :
contrairement aux signaux sinusoïdaux, la base de fonctions du filtre de Gabor n'est pas orthogonale ;
alors que dans l'approche classique, le temps d'analyse T doit être choisi en fonction des fréquences basses, l'approche de Gabor va moyenner quelle que soit T, et c'est le paramètre σ qui fixe la résolution en fréquence.
Un moyen de pallier ce problème est de passer par une analyse en ondelettes, qui permet de construire une base de fonctions complètes orthogonales[1].
Relation avec la vision
Dans le contexte de la vision, les filtres de Gabor correspondent aux informations parvenues au cortex visuel et fragmentées en petits paquets[2].
Certains auteurs[3] ont montré que les fonctions de Gabor présentent un niveau de plausibilité biologique de simulation des champs récepteurs de neurones biologiquesvisuels liés à différentes fréquences spatiales[4].
Références
↑ a et bPhilippe Réfrégier, Théorie du signal : Signal-Information-Fluctuations, Masson, .
↑Daugman (1985), Jones & Palmer (1987) et Jones, Stepnoski & Palmer (1987).
↑(en) Mermillod, M., Vuilleumier, P., Peyrin, C., Alleysson, D. et Marendaz, C., « The importance of low spatial frequency information for recognising fearful facial expressions », Connection Science, vol. 1, no 21, , p. 75-83 (DOI10.1080/09540090802213974, lire en ligne).