F-coalgèbre

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories, une ${\displaystyle F}$-coalgèbre est une structure définie par rapport à un foncteur ${\displaystyle F}$. La notion de ${\displaystyle F}$-coalgèbre possède des applications en informatique, notamment pour l'évaluation paresseuse, pour les structures de données infinies comme les flux ou pour les systèmes transitionnels.

Les ${\displaystyle F}$-coalgèbres sont une forme duale des F-algèbres (en).

Définition

On appelle ${\displaystyle F}$-coalgèbre sur un endofoncteur

${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\longrightarrow {\mathcal {C}}}$

tout objet ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ muni d'un ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-morphisme

${\displaystyle \alpha :A\longrightarrow FA}$.

Les homomorphismes des ${\displaystyle F}$-coalgèbres sont les morphismes

${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$

dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ tel que :

${\displaystyle Ff\circ \alpha =\beta \circ f}$.

Une ${\displaystyle F}$-coalgèbre associée à un foncteur ${\displaystyle F}$ constitue une catégorie.

Exemples

Applications