Ensemble d'arrivée

En mathématiques, pour une application ou une fonction[1] donnée f : A → B, l'ensemble B est appelé l'ensemble d'arrivée (on dit parfois le but de f ou le codomaine de f).

Diagramme sagittal d'une application d'ensemble de départ A = {1,2,3,4} et d'ensemble d'arrivée B = {a,b,c,d}. Ici, l'image {b,c,d} de cette fonction est différente de son ensemble d'arrivée.

L'ensemble d'arrivée ne doit pas être confondu avec l'image f(A) de f, qui est en général seulement un sous-ensemble de B.

Exemple

Soit la fonction f sur l'ensemble des nombres réels définie par

${\displaystyle {\begin{matrix}f&:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &x^{2}.\end{matrix}}}$

L'ensemble d'arrivée de f est ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mais f(x) ne prend jamais de valeurs négatives. L'image est en fait l'intervalle ${\displaystyle \left[0,+\infty \right[=\mathbb {R} _{+}}$ des réels positifs.

${\displaystyle f\left(\mathbb {R} \right)=\left[0,+\infty \right[}$.

Nous aurions pu définir une fonction g ainsi :

${\displaystyle {\begin{matrix}g&:&\mathbb {R} &\to &\left[0,+\infty \right[\\&&x&\mapsto &x^{2}.\end{matrix}}}$

Tandis que f et g ont le même effet quand elles sont appliquées à un nombre réel donné, les fonctions sont différentes puisqu'elles ont des ensembles d'arrivée différents.

Surjectivité

L'ensemble d'arrivée peut avoir un effet sur la surjectivité d'une fonction ; dans notre exemple, g est surjective alors que f ne l'est pas.

De manière générale, une application f : A → B est surjective si, et seulement si, son image est égale à son ensemble d'arrivée, c'est-à-dire ${\displaystyle f(A)=B}$.

À noter qu'on peut toujours, à partir d'une application ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ construire une application surjective en restreignant son ensemble d'arrivée à l'image de ${\displaystyle f}$ : l'application ${\displaystyle g:A\rightarrow f(A)}$ définie par ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ pour tout ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle A}$ est surjective.

Voir aussi

Article connexe

Ensemble de définition

Notes

1. Selon les sources, il y a distinction ou non entre les notions de fonction et d'application, voir Application_(mathématiques)#Fonction_et_application pour plus de détails. Ce qui est énoncé dans cet article est valable que la distinction soit faite ou non.

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Codomain » (voir la liste des auteurs).