Dodécaèdre rhombique tronqué

Dodécaèdre rhombique tronqué
Type	Quasi-solide de Johnson
Faces	6 carrés 12 hexagones
Arêtes	48 (2 types)
Sommets	32 (2 types)
Configurations de sommets	(24) 4.6.6 (8) 6.6.6
Groupe de symétrie	Oh
Polyèdre dual	-
Propriétés	Convexe, zonoèdre, faces hexagonales équilatérales mais non équiangles

Le dodécaèdre rhombique tronqué est un polyèdre convexe obtenu par la troncature des six sommets du dodécaèdre rhombique où quatre faces se réunissent.

Les six sommets sont tronqués de façon que les arêtes soient de même longueur. Les douze faces rhombiques deviennent des hexagones, et les sommets tronqués deviennent des carrés.

Les faces hexagonales sont équilatérales, mais pas régulières, car elles ont des angles inégaux : deux angles opposés valent environ ${\displaystyle \arccos {\biggl (}{\frac {-1}{3}}{\biggl )}\approx 109,47^{\circ }}$ et les quatre autres valent environ 125,26°. (Les authentiques hexagones réguliers ont 120° à chaque angle.)

C'est un zonoèdre : toutes ses faces ont un centre de symétrie.

Patron

Patron d'un dodécaèdre rhombique tronqué.

Ambiguïtés

Il ne faut pas confondre le dodécaèdre rhombique tronqué avec l'octaèdre tronqué, qui lui ressemble beaucoup :

Dodécaèdre rhombique tronqué	Octaèdre tronqué

Malgré les apparences, et bien que convexe, le dodécaèdre rhombique tronqué n'est pas un solide de Johnson, car pas toutes ses faces sont strictement régulières ; c'est également le cas du triakitétraèdre tronqué et du triacontaèdre rhombique tronqué.

Le nom « dodécaèdre rhombique tronqué » est ambigu, car seulement six sommets ont été tronqués, or l'appellation « polyèdre tronqué » est généralement réservée aux polyèdres dont tous les sommets ont été tronqués. En tronquant les quatorze sommets d'un dodécaèdre rhombique, on obtient un tout autre polyèdre.

Mesures et volume

Une œuvre d'art composée de dodécaèdres rhombiques tronqués : Système de Pierre Granche, station de métro Namur, Montréal.

Si son arête a pour longueur ${\displaystyle a}$,

• son volume vaut :

  ${\displaystyle V=a^{3}\times {\biggr (}8+{\frac {40{\sqrt {3}}}{9}}+{\sqrt {\frac {19+8{\sqrt {3}}}{3}}}{\biggr )}\approx a^{3}\times 19{,}0074}$ ;

• son aire est de :

  ${\displaystyle A=a^{2}\times {\biggr (}6+8{\sqrt {2}}(1+{\sqrt {3}}){\biggr )}\approx a^{2}\times 36{,}9096}$ ;

• le rayon de la sphère passant par les centres des carrés vaut :

  ${\displaystyle r_{4}=a\times {\sqrt {\frac {{\frac {19}{2}}+4{\sqrt {3}}}{6}}}\approx a\times 1{,}6547}$ ;

• le rayon de la sphère passant par les centres des hexagones vaut :

  ${\displaystyle r_{6}=a\times {\biggr (}{\frac {{\sqrt {\frac {8}{3}}}+{\sqrt {2}}}{2}}{\biggr )}\approx a\times 1{,}5236}$.

Voir aussi

Article connexe

Dodécaèdre tronqué

Liens externes

• VRML model [1]
  • VTML polyhedral generator Try "t4daC"

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Truncated rhombic dodecahedron » (voir la liste des auteurs).