Dés non transitifs

Des dés non transitifs sont un ensemble de dés où, si un premier dé a plus de chances de donner un plus grand résultat qu'un deuxième et si celui-ci a plus de chance qu'un troisième, ce dernier peut tout de même avoir plus de chance de l'emporter sur le premier. En d'autres termes, la relation « a une plus grande probabilité de donner un plus grand nombre » n'y est pas transitive.

Cette situation est similaire à celle du jeu pierre-feuille-ciseaux où chaque élément gagne par rapport à l'un des deux autres et perd par rapport au dernier.

Exemples

Exemple général

Un exemple de dés non transitifs (les faces cachées ont les mêmes valeurs que celles affichées)

Soit le jeu de trois dés à 6 faces A, B, C suivant :

  • le dé A porte les numéros {2,2,4,4,9,9} sur ses faces ;
  • le dé B porte {1,1,6,6,8,8} ;
  • le dé C porte {3,3,5,5,7,7}.

Alors :

  • la probabilité que A donne un plus grand nombre que B est 5/9 (sur les 36 résultats possibles, le dé A l'emporte 20 fois) ;
  • la probabilité que B donne un plus grand nombre que C est 5/9 ;
  • la probabilité que C donne un plus grand nombre que A est 5/9.

Dans cet exemple, A a plus de chances de gagner sur B, qui a lui-même plus de chances de l'emporter sur C, lequel a à son tour plus de chances de donner un plus grand résultat que A.

La valeur moyenne de chacune des trois distributions est de 5.

Dés d'Efron

Dés d'Efron

Les dés d'Efron[1] sont un jeu de quatre dés non transitifs inventés par Bradley Efron. Les quatre dés A, B, C, D portent les numéros suivants sur leurs six faces :

  • A : 4, 4, 4, 4, 0, 0 ;
  • B : 3, 3, 3, 3, 3, 3 ;
  • C : 6, 6, 2, 2, 2, 2 ;
  • D : 5, 5, 5, 1, 1, 1.

La probabilité que A batte B, B batte C, C batte D et D batte A est égale à 2/3.

Les autres probabilités varient suivant les dés :

  • la probabilité que A batte C est 4/9 ;
  • la probabilité que B batte D est égale à 1/2 ;
  • la probabilité que C batte A vaut 5/9 ;
  • la probabilité que D batte B est 1/2.

En revanche, la probabilité qu'un dé en batte un autre pris au hasard parmi les trois restants n'est pas égale suivant les dés :

  • dans le cas de A, elle vaut 13/27 ;
  • pour B, 1/2 ;
  • pour C, 14/27 ;
  • pour D, 1/2.

Globalement, le meilleur dé pour gagner un jeu totalement aléatoire est donc C, qui gagne dans près de 52 % des cas.

Notez que dans cet exemple, la valeur moyenne diffère selon les dés : la valeur moyenne du "meilleur" dé C est de 10/3 alors que celle du plus "mauvais", le A, est de 8/3.

Dés numérotés de 1 à 18

Un jeu de trois dés utilisant tous les nombres de 1 à 18 peut être rendu non transitif avec la combinaison suivante :

  • A : 1, 6, 11, 12, 13, 14
  • B : 2, 3, 4, 15, 16, 17
  • C : 5, 7, 8, 9, 10, 18

B bat A, C bat B et A bat C avec la probabilité de 7/12[2].

Dés numérotés de 1 à 24

Un jeu de quatre dés utilisant tous les nombres de 1 à 24 peut être rendu non transitif avec la combinaison suivante :

  • A : 1, 2, 16, 17, 18, 19
  • B : 3, 4, 5, 20, 21, 22
  • C : 6, 7, 8, 9, 23, 24
  • D : 10, 11, 12, 13, 14, 15

B bat A, C bat B, D bat C et A bat D avec la probabilité de 2/3.

Dés de Miwin

Dés de Miwin

Les dés de Miwin (en)[3] ont été inventés en 1975 par le physicien Michael Winkelmann et sont répartis de la sorte :

  • A : 1, 2, 5, 6, 7, 9
  • B : 1, 3, 4, 5, 8, 9
  • C : 2, 3, 4, 6, 7, 8

A l'emporte sur B, B sur C et C sur A avec la probabilité de 17/36.

Ces dés peuvent servir à effectuer des tirages avec des probabilités uniformes :

  • si l'on prend un dé au hasard et qu'on le jette, on peut obtenir tous les nombres de 1 à 9, distribués suivant la loi uniforme (puisque chaque nombre est représenté deux fois sur un total de dix-huit faces) ;
  • si l'on prend deux dés au hasard et qu'on multiplie leurs résultats, on peut obtenir tous les produits de deux nombres de 1 à 9, entre 1 et 81, également distribués suivant la loi uniforme. Toutefois, certains produits ayant la même valeur (comme 6 égal à 1 fois 6 et 2 fois 3) et d'autres étant uniques à avoir leur valeur (comme 7 égal uniquement au produit 1 fois 7), les nombres obtenus n'ont pas tous la même probabilité.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Nontransitive dice » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Efron's Dice », sur MathWorld
  2. ↑ Jean-Paul Delahaye : "Le dé le plus fort" dans "Les Nouvelles d'Archimède" n°59 (jan-fév-mars 2012) pp22-23
  3. ↑ (en) Miwin's Dice sur miwin.com

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Bibliographie

(en) Martin Gardner, The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems, 1re éd., New York, Norton, 2001 (ISBN 0-393-02023-1), p. 286-311