Couplage de deux oscillateurs mécaniques

Soient deux pendules simples identiques oscillant dans le même plan, avec la même pulsation telle que :

${\displaystyle \omega _{0}^{2}=g/l}$ (formule dite des petites oscillations)

Couplage des deux pendules

Placer un ressort de longueur au repos égal à la distance M1M2 = a, entre les pendules immobiles. Ce faisant, on couple les 2 oscillateurs et les deux degrés de liberté x₁ et x₂ du mouvement de chaque pendule seront couplés par le ressort de raideur k.

Symétrie

La symétrie du problème fait apparaître deux régimes :

• l'un symétrique: x₁ = x₂ : le ressort ne joue aucun rôle et la pulsation reste inchangée.
• l'autre antisymétrique x₁ = - x₂ : le point milieu du ressort reste immobile. On se retrouve avec deux oscillateurs non couplés avec rappel par un ressort de raideur 2k. La pulsation est telle que:
  • ${\displaystyle \omega _{u}^{2}={\frac {g}{l}}+{\frac {2k}{m}}}$

Il suffirait donc d'avoir changé les coordonnées du problème en X₁ =x ₁+x₂ et X₂ = x₁-x₂ pour entraîner le découplage : c'est une situation générale pour des oscillateurs linéaires. En choisissant les coordonnées dites "normales", le couplage s'évanouit. C'est donc une notion relative au point de vue choisi.

Double résonance

Appelons arbitrairement (on vient de le voir) K = kl/mg, la constante de couplage. Si l'on force le mouvement de la première masse par une force sinusoïdale F cos(${\displaystyle \omega }$t) alors le mouvement x₁(t) sera un mouvement sinusoïdal d'amplitude complexe x₁(p) tel que :

${\displaystyle x_{1}(p)={\frac {F}{m}}{\frac {p^{2}+\omega _{0}^{2}(1+K)}{(p^{2}+\omega _{0}^{2})(p^{2}+\omega _{u}^{2})}}}$

qui est un réel conformément au théorème de Foster-Tuttle, avec résonance aux deux pulsations propres et une pulsation "bouchon" (x₁(t)=0 ), juste au moment où la masse m2 oscille sur cette pulsation. Celle-ci est telle que ${\displaystyle \omega _{tampon}^{2}=\omega _{0}^{2}(1+K)}$, x₂ ayant une amplitude finie.

Cependant, les phénomènes décrits ici ne sont valables que pour de petites oscillations.

Voir aussi

Articles connexes

• Constante de couplage
• Couplage de deux oscillateurs électriques
• Corde sympathique

Liens externes

• Vidéo d'une expérience commentée, montrant des oscillateurs mécaniques couplés