Corps quasi-fini

En mathématiques, un corps quasi-fini[1] est une généralisation d'un corps fini. La théorie des corps de classes locaux traite généralement de corps à valuation complets dont le corps résiduel est fini (c'est-à-dire un corps local non-archimédien), mais la théorie s'applique aussi bien lorsque le corps résiduel est seulement supposé quasi-finis[2].

Définition formelle

Un corps quasi-fini est un corps parfait K muni d'un isomorphisme de groupes topologiques.

${\displaystyle \phi :{\hat {\mathbf {Z} }}\to \operatorname {Gal} (K_{s}/K),}$

où K_s est une clôture algébrique de K (nécessairement séparable parce que K est parfait). L'extension de corps K_s/K est infinie, et le groupe de Galois se voit par conséquent attribué la topologie de Krull. Le groupe ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z} }}}$ est le groupe profini des nombres entiers à l'égard de ses sous-groupes d'index fini.

Cette définition équivaut à dire que K a une unique (nécessairement cyclique) extension K_n de degré n pour chaque entier n ≥ 1, et que l'union de ces extensions est égale à K_s[3]. En outre, dans le cadre de la structure de corps quasi-fini, il y a un générateur de F_n pour chaque Gal(K_n/K), et les générateurs doivent être cohérent, dans le sens où si n divise m, la restriction de F_m à K_n est égale à F_n.

Exemples

L'exemple le plus simple, est le corps fini K = GF(q). Il a une unique extension cyclique de degré n, à savoir K_n = GF(q^n). L'union de K_n est la clôture algébrique de K_s. Nous prenons F_n comme étant l'élément de Frobenius; c'est-à-dire F_n(x) = x^q.

Un autre exemple est K = C((T)), l'anneau des séries formelles de Laurent en T sur le corps C des nombres complexes. Celles-ci sont simplement des séries formelles dans lesquelles nous permettons également un nombre fini de termes de degrés négatifs. Alors K a une unique extension cyclique

${\displaystyle K_{n}=\mathbf {C} ((T^{1/n}))}$

de degré n pour chaque n ≥ 1, dont l'union est une clôture algébrique de K appelée le champ des séries de Puiseux, et dont un générateur de Gal(K_n/K) est donnée par

${\displaystyle F_{n}(T^{1/n})=e^{2\pi i/n}T^{1/n}.}$

Cette construction fonctionne si C est remplacé par un corps fini algébriquement clos C de caractéristique zéro[4].

Références

1. (Artin et Tate 2009, §XI.3) dit que le corps satisfait l'axiome de Moriya.
2. Comme l'a montré Mikao Moriya ((Serre 1979, chapter XIII, p. 188))
3. (Serre 1979, §XIII.2 exercise 1, p. 192)
4. (Serre 1979, §XIII.2, p. 191)

• Emil Artin et John Tate, Class field theory, American Mathematical Society, 2009 (1^re éd. 1967), 192 p. (ISBN 978-0-8218-4426-7, MR 2467155, zbMATH 1179.11040)
• (en) Jean-Pierre Serre (trad. Marvin Jay Greenberg), Local Fields, vol. 67, New York/Heildeberg/Berlin, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1979, 241 p. (ISBN 0-387-90424-7, MR 554237, zbMATH 0423.12016)