Coordonnées bipolaires

Le système de coordonnées bipolaires

Les coordonnées bipolaires sont un système de coordonnées orthogonales, qui permettent de déterminer la position d'un point grâce à sa distance par rapport à deux foyers fixes donnés.

Définition

En un point du plan de coordonnées bipolaires (τ , σ) correspond le point

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}$

Géométriquement la coordonnée σ d'un point P est l'amplitude (signée) de l'angle entre le segment joignant les foyers (–a, 0) et (a, 0) et le cercle passant par le foyer (–a, 0), le point P et le foyer (a, 0). La coordonnée τ est quant à elle le logarithme du rapport entre la distance au foyer (a, 0) et la distance au foyer (–a, 0).

Notation complexe

On a la correspondance pour l'affixe complexe :

${\displaystyle x+\mathrm {i} y=a\coth {\frac {\tau -\mathrm {i} \sigma }{2}}.}$

Transformation inverse

Pour déterminer les coordonnées bipolaires (τ , σ) à partir des coordonnées cartésiennes (x , y), on a

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {(x+a)^{2}+y^{2}}{(x-a)^{2}+y^{2}}}}$

et

${\displaystyle \pi -\sigma =2\arctan {\frac {2ay}{a^{2}-x^{2}-y^{2}+{\sqrt {(a^{2}-x^{2}-y^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}}}}}.}$

On remarque aussi que

${\displaystyle \tanh \tau ={\frac {2ax}{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}}$

et que

${\displaystyle \tan \sigma ={\frac {2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}}.}$

Applications

Les coordonnées bipolaires sont utilisées dans la résolution d'équations aux dérivées partielles, comme l'équation de Laplace ou l'équation de Helmholtz, où ce système permet d'avoir une séparation des variables. Un exemple est le champ électrique autour de deux conducteurs cylindriques parallèles de diamètres différents[1],[2].

Références

1. (en) Phil Lucht, Tensor Analysis and Curvilinear Coordinates, mai 2016 (lire en ligne).
2. (en) Phil Lucht, Transmission Lines and Maxwell's Equations, octobre 2014 (DOI 10.13140/RG.2.1.4774.0320, lire en ligne).

Voir aussi

• Faisceau de Poncelet

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Bipolar Coordinates », sur MathWorld