Conjecture de modularité de Serre

En mathématiques, la conjecture de modularité de Serre, introduite par Jean-Pierre Serre (1975,1987), énonce qu'une représentation galoisienne impaire, irréductible et bidimensionnelle sur un corps fini provient d'une forme modulaire. Une version plus forte de cette conjecture spécifie le poids et le niveau de la forme modulaire. La conjecture dans le cas de niveau 1 a été prouvée par Chandrashekhar Khare en 2005[1], et une preuve de la conjecture complète a été complétée conjointement par Khare et Jean-Pierre Wintenberger en 2008[2].

Formulation

La conjecture concerne le groupe de Galois absolu ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ du corps des nombres rationnels ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ .

Soit ${\displaystyle \rho }$ une représentation absolument irréductible (i.e. irréductible sur le corps des complexes), continue et bidimensionnelle de ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ sur un corps fini ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{\ell ^{r}}}$.

${\displaystyle \rho \colon G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}(F).}$

De plus, on suppose ${\displaystyle \rho }$ est impaire, ce qui signifie que l'image de la conjugaison complexe a un déterminant -1.

À toute forme propre modulaire normalisée

${\displaystyle f=q+a_{2}q^{2}+a_{3}q^{3}+\cdots }$

de niveau ${\displaystyle N=N(\rho )}$, poids ${\displaystyle k=k(\rho )}$, et caractères de Dirichlet

${\displaystyle \chi \colon \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} \rightarrow F^{*}}$ ,

un théorème dû à Shimura, Deligne et Serre-Deligne associe à ${\displaystyle f}$ une représentation

${\displaystyle \rho _{f}\colon G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}({\mathcal {O}}),}$

où ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ est l'anneau des entiers dans une extension finie de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$. Cette représentation est caractérisée par la condition que pour tout nombre premier ${\displaystyle p}$, premier avec ${\displaystyle N\ell }$ on a

${\displaystyle \operatorname {Trace} (\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=a_{p}}$

et

${\displaystyle \det(\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=p^{k-1}\chi (p).}$

En réduisant cette représentation modulo l'idéal maximal de ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ donne une représentation ${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}}$ modulo ${\displaystyle \ell }$ de ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$.

La conjecture de Serre affirme que pour toute représentation ${\displaystyle \rho }$ comme ci-dessus, il existe une forme modulaire propre ${\displaystyle f}$ tel que

${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}\cong \rho }$ .

Le niveau et le poids de la forme conjecturale ${\displaystyle f}$ sont explicitement conjecturés dans l'article de Serre. De plus, il tire un certain nombre de résultats de cette conjecture, parmi lesquels le dernier théorème de Fermat et la conjecture (désormais prouvée) de Shimura-Taniyama-Weil, maintenant connue sous le nom de théorème de modularité (bien que celui-ci implique le dernier théorème de Fermat, Serre le prouve directement à partir de sa conjecture).

Niveau et poids optimaux

La forme forte de la conjecture de Serre décrit le niveau et le poids de la forme modulaire.

Le niveau optimal est le conducteur d'Artin de la représentation, avec la puissance de ${\displaystyle l}$ supprimé.

Preuve

Une preuve des cas de niveau 1 et de petit poids de la conjecture a été obtenue en 2004 par Chandrashekhar Khare et Jean-Pierre Wintenberger, et par Luis Dieulefait, indépendamment[3],[4].

En 2005, Chandrashekhar Khare a obtenu une preuve du cas de niveau 1 de la conjecture de Serre, et en 2008 une preuve de la conjecture complète en collaboration avec Jean-Pierre Wintenberger.

Notes

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Serre's modularity conjecture » (voir la liste des auteurs).

1. Chandrashekhar Khare, Serre's modularity conjecture: The level one case, vol. 134, 2006, 557–589 p. (DOI 10.1215/S0012-7094-06-13434-8).
2. Chandrashekhar Khare et Jean-Pierre Wintenberger, Serre's modularity conjecture (I), vol. 178, 2009, 485–504 p. (DOI 10.1007/s00222-009-0205-7, Bibcode 2009InMat.178..485K, CiteSeer^x 10.1.1.518.4611) et Chandrashekhar Khare et Jean-Pierre Wintenberger, Serre's modularity conjecture (II), vol. 178, 2009, 505–586 p. (DOI 10.1007/s00222-009-0206-6, Bibcode 2009InMat.178..505K, CiteSeer^x 10.1.1.228.8022).
3. Chandrashekhar Khare et Jean-Pierre Wintenberger, On Serre's reciprocity conjecture for 2-dimensional mod p representations of Gal(Q/Q), vol. 169, 2009, 229–253 p. (DOI 10.4007/annals.2009.169.229 ).
4. Luis Dieulefait, The level 1 weight 2 case of Serre's conjecture, vol. 23, 2007, 1115–1124 p. (DOI 10.4171/rmi/525, arXiv math/0412099, lire en ligne).

Bibliographie

•  Jean-Pierre Serre, Valeurs propres des opérateurs de Hecke modulo l, vol. 24–25, 1975, 109–117 p. (ISSN 0303-1179, MR 0382173)
•  Jean-Pierre Serre, Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(Q/Q), vol. 54, 1987, 179–230 p. (ISSN 0012-7094, DOI 10.1215/S0012-7094-87-05413-5, MR 885783)
•  William A. Stein et Kenneth A. Ribet, Arithmetic algebraic geometry (Park City, UT, 1999), vol. 9, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « IAS/Park City Math. Ser. », 2001, 143–232 p. (ISBN 978-0-8218-2173-2, MR 1860042), « Lectures on Serre's conjectures »

Liens externes

• Serre's Modularity Conjecture Conférence de 50 minutes par Ken Ribet donnée le 25 octobre 2007 ( slides PDF, autre version de slides PDF)
• Conférences sur les conjectures de Serre