Conjecture de Szpiro

En théorie des nombres, la conjecture de Szpiro met en relation le conducteur (en) et le discriminant d'une courbe elliptique. Sous une forme légèrement modifiée, elle est équivalente à la conjecture abc bien connue. Elle porte le nom de Lucien Szpiro qui l'a formulée dans les années 1980.

Enoncé original

La conjecture stipule que: étant donné ε > 0, il existe une constante C ( ε ) telle que pour toute courbe elliptique E définie sur Q avec un discriminant minimal Δ et un conducteur f, nous avons

${\displaystyle \vert \Delta \vert \leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }.}$

Conjecture de Szpiro modifiée

La conjecture de Szpiro modifiée déclare que: étant donné ε > 0, il existe une constante C ( ε ) telle que pour toute courbe elliptique E définie sur Q avec pour invariants c₄, c₆ et pour conducteur f (en utilisant la notation de l'algorithme de Tate (en)), nous avons

${\displaystyle \max\{\vert c_{4}\vert ^{3},\vert c_{6}\vert ^{2}\}\leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }.}$

Preuves revendiquées

En août 2012, Shinichi Mochizuki revendique une preuve de la conjecture de Szpiro en développant une nouvelle théorie appelée théorie de Teichmüller inter-universelle (en) (IUTT)[1]. Cependant, les articles n'ont pas été acceptés par la communauté mathématique comme fournissant une preuve de la conjecture[2],[3],[4], avec Peter Scholze et Jakob Stix concluant en mars 2018 que l'écart était « si grave que ... de petites modifications ne sauvera pas la stratégie de preuve »[5],[6],[7].

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Szpiro's conjecture » (voir la liste des auteurs).

1. Ball, « Proof claimed for deep connection between primes », Nature,‎ 10 septembre 2012 (DOI 10.1038/nature.2012.11378, lire en ligne, consulté le 19 avril 2020)
2. (en) Timothy Revell, « Baffling ABC maths proof now has impenetrable 300-page 'summary' », New Scientist,‎ 7 septembre 2017 (lire en ligne).
3. Conrad, « Notes on the Oxford IUT workshop by Brian Conrad », 15 décembre 2015 (consulté le 18 mars 2018)
4. Castelvecchi, « The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof », Nature, vol. 526, n^o 7572,‎ 8 octobre 2015, p. 178–181 (PMID 26450038, DOI 10.1038/526178a, Bibcode 2015Natur.526..178C)
5. Scholze et Stix, « Why abc is still a conjecture » (consulté le 23 septembre 2018) (version mise à jour de leur rapport de mai.)
6. (en) Erica Klarreich, « Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture », Quanta Magazine,‎ 20 septembre 2018 (lire en ligne).
7. « March 2018 Discussions on IUTeich » (consulté le 2 octobre 2018) Web-page by Mochizuki describing discussions and linking consequent publications and supplementary material

Bibliographie

• (en) S. Lang, Survey of Diophantine geometry, Berlin, Springer-Verlag, 1997 (ISBN 3-540-61223-8, zbMATH 0869.11051), p. 51.
• (en) L. Szpiro, « Seminaire sur les pinceaux des courbes de genre au moins deux », Astérisque, vol. 86, n^o 3,‎ 1981, p. 44–78 (zbMATH 0463.00009).
• (en) L. Szpiro, « Présentation de la théorie d'Arakelov », Contemp. Math., vol. 67,‎ 1987, p. 279–293 (DOI 10.1090/conm/067/902599, zbMATH 0634.14012).

Liens externes