Conjecture de Sumner

Un tournoi à 6 sommets contenant un exemplaire de tout polyarbre à 4 sommets.

En théorie des graphes, la conjecture de Sumner (également appelée conjecture universelle du tournoi de Sumner), nommée ainsi d'après David Sumner, affirme que les tournois sont des graphes universels pour les polyarbres. Plus précisément tout tournoi avec ${\displaystyle 2n-2}$ sommets contient tout polyarbre avec ${\displaystyle n}$ sommets comme sous-graphe.

Cette conjecture, même si elle est encore ouverte dans le cas général, a été démontré pour toutes les valeurs suffisamment grandes de ${\displaystyle n}$ par Daniela Kühn, Richard Mycroft et Deryk Osthus[1].

Historique

La formulation de cette conjecture en 1971 est attribuée à David Sumner, un théoricien des graphes à l'université de Caroline du Sud[2]. La conjecture a été prouvée pour les valeurs assez grandes de ${\displaystyle n}$ par Daniela Kühn, Richard Mycroft et Deryk Osthus[3],[1].

A propos de la taille

La conjecture de Sumner, si elle est prouvée, donne la plus petite taille possible d'un graphe universel, à savoir 2n-2, pour les polyarbres de taille n.

Pour le voir, considérons ${\displaystyle P=K_{1,n-1}}$ le graphe étoile à ${\displaystyle n}$ sommets, dans lequel tous les arcs sont orientés depuis le sommet central vers les feuilles. Alors, ${\displaystyle P}$ ne peut pas être plongé comme sous-graphe dans le tournoi formé à partir des sommets d'un polygone à ${\displaystyle 2n-3}$ sommets dont les arêtes sont orientées dans le sens des aiguilles d'une montre autour du polygone. En effet, dans un tel tournoi, tout sommet a un degré entrant et un degré sortant égal à ${\displaystyle n-2}$, tandis que le sommet central de ${\displaystyle P}$ a un degré supérieur à ${\displaystyle n-1}$[4].

Cependant, dans un tournoi à ${\displaystyle 2n-2}$ sommets, le degré sortant moyen est ${\displaystyle n-3/2}$, et le degré sortant maximal est un nombre entier supérieur ou égal à la moyenne. Il existe donc un sommet de degré sortant ${\displaystyle \lceil n-3/2\rceil =n-1}$, qui peut être utilisé comme sommet central pour une copie de ${\displaystyle P}$.

Résultats complémentaires

Les résultats suivants sur la conjecture ont été prouvés.

• Il existe une fonction ${\displaystyle f(n)}$ avec taux de croissance asymptotique ${\displaystyle f(n)=2n+o(n)}$ avec la propriété que tout polyarbre à ${\displaystyle n}$ sommets peut être plongé comme sous-graphe dans tout tournoi à ${\displaystyle f(n)}$ sommets. De plus, on a la majoration ${\displaystyle f(n)\leq 3n-3}$[5].
• Il existe une fonction ${\displaystyle g(k)}$ telle que les tournois sur ${\displaystyle n+g(k)}$ les sommets sont universels pour les polyarbres à ${\displaystyle k}$ feuilles[6].
• Il existe une fonction ${\displaystyle h(n,\Delta )}$ telle que tout polyarbre à ${\displaystyle n}$ sommets de degré au plus ${\displaystyle \Delta }$ peut être plongé comme sous-graphe dans tout tournoi à ${\displaystyle h(n,\Delta )}$ sommets. Lorsque ${\displaystyle \Delta }$ est une constante fixe, le taux de croissance asymptotique de ${\displaystyle h(n,\Delta )}$ est ${\displaystyle n+o(n)}$[3].
• Tout tournoi « quasi régulier » sur ${\displaystyle 2n-2}$ sommets contient chaque polyarbre à ${\displaystyle n}$ sommets[7].
• Tout graphe chenille orienté à ${\displaystyle n}$ sommets de diamètre au plus 4 peut être plongé comme sous-graphe dans tout tournoi à ${\displaystyle 2n-2}$ sommets[7].
• Tout tournoi à ${\displaystyle 2n-2}$ sommets contient comme sous-graphe toute arborescence à ${\displaystyle n}$ sommets[8].

Conjectures associées

(Rosenfeld 1972) a conjecturé que toute orientation d'un graphe chemin à ${\displaystyle n\geq 8}$ sommets peut être plongé comme un sous-graphe dans tout graphe à ${\displaystyle n}$ sommets. Après des résultats partiels de (Thomason 1986), elle a été prouvée par (Havet et Thomassé 2000a).

Havet et Thomassé[9] à leur tour ont conjecturé un renforcement de la conjecture de Sumner, dans laquelle tout tournoi sur ${\displaystyle n+k-1}$ sommets contient comme sous-graphe tout polyarbre avec au plus ${\displaystyle k}$ feuilles. Cela a été confirmé pour presque tous les arbres par Mycroft et (Naia 2018).

(Burr 1980) a conjecturé que si une coloration d'un graphe ${\displaystyle G}$ requiert au moins ${\displaystyle 2n-2}$ couleurs, alors toute orientation de ${\displaystyle G}$ contient toute orientation d'un arbre à ${\displaystyle n}$ sommets. Comme les graphes complets nécessitent une couleur différente pour chaque sommet, la conjecture de Sumner découle immédiatement de la conjecture de Burr[10]. Comme l'a montré Burr, les orientations des graphes dont le nombre chromatique croît quadratiquement en fonction de ${\displaystyle n}$ sont universelles pour les polyarbres.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sumner's conjecture » (voir la liste des auteurs).

1. Kühn, Mycroft et Osthus (2011b).
2. Les mentions les plus anciennes de cette conjectures sont attribuées par (Kühn, Mycroft et Osthus 2011a) à (Reid et Wormald 1983) et (Wormald 1983). (Wormald 1983) lui-même cite la conjecture comme étant une communication orale par Sumner, sans date.
3. Kühn, Mycroft et Osthus (2011a).
4. Cet exemple est tiré de (Kühn, Mycroft et Osthus 2011a).
5. (Kühn, Mycroft et Osthus 2011a) et (El Sahili 2004). D'autres bornes plus faibles et antérieures pour ${\displaystyle f(n)}$ ont été données par (Chung 1981), (Wormald 1983), (Häggkvist et Thomason 1991), (Havet et Thomassé 2000b), et (Havet 2002).
6. (Häggkvist et Thomason 1991); (Havet et Thomassé 2000a); (Havet 2002).
7. Reid et Wormald 1983.
8. Havet et Thomassé (2000b).
9. Dans (Havet 2002), mais attribué conjointement à Thomassé dans l'article.
10. Cette version correcte de la conjecture est de (Wormald 1983).

Bibliographie

• Stefan A. Burr, « Subtrees of directed graphs and hypergraphs », Congressus Numerantium, vol. 28 « Proceedings of the Eleventh Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing »,‎ 1980, p. 227–239 (MR 608430).
• Fan R. K. Chung, « A note on subtrees in tournaments », Internal Memorandum, Bell Laboratories,‎ 1981. Cité par (Wormald 1983).
• A. El Sahili, « Trees in tournaments », Journal of Combinatorial Theory, Series B, vol. 92, n^o 1,‎ 2004, p. 183–187 (DOI 10.1016/j.jctb.2004.04.002, MR 2078502).
• Roland Häggkvist et Andrew Thomason, « Trees in tournaments », Combinatorica, vol. 11, n^o 2,‎ 1991, p. 123–130 (DOI 10.1007/BF01206356, MR 1136161).
• Frédéric Havet, « Trees in tournaments », Discrete Mathematics, vol. 243, n^os 1-3,‎ 2002, p. 121–134 (DOI 10.1016/S0012-365X(00)00463-5, MR 1874730).
• Frédéric Havet et Stéphan Thomassé, « Oriented Hamiltonian paths in tournaments: a proof of Rosenfeld's conjecture », Journal of Combinatorial Theory, série B, vol. 78, n^o 2,‎ 2000a, p. 243–273 (DOI 10.1006/jctb.1999.1945, MR 1750898).
• Frédéric Havet et Stéphan Thomassé, « Median orders of tournaments: a tool for the second neighborhood problem and Sumner's conjecture », Journal of Graph Theory, vol. 35, n^o 4,‎ 2000b, p. 244–256 (DOI 10.1002/1097-0118(200012)35:4<244::AID-JGT2>3.0.CO;2-H, MR 1791347).
• Daniela Kühn, Richard Mycroft et Deryk Osthus, « An approximate version of Sumner's universal tournament conjecture », Journal of Combinatorial Theory, Series B, vol. 101, n^o 6,‎ 2011a, p. 415–447 (DOI 10.1016/j.jctb.2010.12.006, MR 2832810, zbMATH 1234.05115, arXiv 1010.4429).
• Daniela Kühn, Richard Mycroft et Deryk Osthus, « A proof of Sumner's universal tournament conjecture for large tournaments », Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, vol. 102, n^o 4,‎ 2011b, p. 731–766 (DOI 10.1112/plms/pdq035, MR 2793448, zbMATH 1218.05034, arXiv 1010.4430).
• Tássio Naia, Large structures in dense directed graphs (Thèse de doctorat), University of Birmingham, 2018 (lire en ligne).
• K. B. Reid et N. C. Wormald, « Embedding oriented n-trees in tournaments », Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, vol. 18, n^os 2-4,‎ 1983, p. 377–387 (MR 787942).
• M. Rosenfeld, « Antidirected Hamiltonian paths in tournaments », Journal of Combinatorial Theory, série B, vol. 12,‎ 1972, p. 93–99 (DOI 10.1016/0095-8956(72)90035-4, MR 0285452).
• Andrew Thomason, « Paths and cycles in tournaments », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 296, n^o 1,‎ 1986, p. 167–180 (DOI 10.2307/2000567, MR 837805).
• Nicholas C. Wormald, « Subtrees of large tournaments », Lecture Notes in Math., Berlin, Springer, vol. 1036 « Combinatorial mathematics, X (Adelaide, 1982) »,‎ 1983, p. 417–419 (DOI 10.1007/BFb0071535, MR 731598).