Conjecture de Duffin-Schaeffer
La conjecture de Duffin-Schaeffer est une conjecture (maintenant un théorème ) en mathématiques , concernant l'approximation diophantienne proposée par R. J. Duffin et A. C. Schaeffer en 1941[ 1] . Elle stipule que si
f
:
N
→ → -->
R
+
{\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}
est une fonction à valeurs réelles prenant des valeurs positives, alors pour presque tout
α α -->
{\displaystyle \alpha }
(par rapport à la mesure de Lebesgue ), l'inégalité
|
α α -->
− − -->
p
q
|
<
f
(
q
)
q
{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {f(q)}{q}}}
a une infinité de solutions en
p
,
q
{\displaystyle p,q}
entiers premiers entre eux avec
q
>
0
{\displaystyle q>0}
si et seulement si
∑ ∑ -->
q
=
1
∞ ∞ -->
f
(
q
)
φ φ -->
(
q
)
q
=
∞ ∞ -->
,
{\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }f(q){\frac {\varphi (q)}{q}}=\infty ,}
où
φ φ -->
(
q
)
{\displaystyle \varphi (q)}
est l'indicatrice d'Euler .
En 2019, la conjecture de Duffin-Schaeffer a été prouvée par Dimitris Koukoulopoulos et James Maynard [ 2] .
Progrès
L'implication de l'existence des approximations rationnelles par la divergence de la série découle du lemme de Borel-Cantelli [ 3] . La reciproque était le cœur de la conjecture[ 4] . Il y a eu de nombreux résultats partiels de la conjecture de Duffin-Schaeffer : Paul Erdős a établi en 1970 que la conjecture est vraie s'il existe une constante
c
>
0
{\displaystyle c>0}
tel que pour tout entier
n
{\displaystyle n}
nous avons soit
f
(
n
)
=
c
/
n
{\displaystyle f(n)=c/n}
ou
f
(
n
)
=
0
{\displaystyle f(n)=0}
[ 4] , [ 5] . Cela a été renforcé par Jeffrey Vaaler en 1978 pour le cas
f
(
n
)
=
O
(
n
− − -->
1
)
{\displaystyle f(n)=O(n^{-1})}
[ 6] , [ 7] .
En 2006, Beresnevich et Velani ont prouvé qu'une conjecture analogue pour la mesure de Hausdorff est équivalente à la conjecture originale de Duffin-Schaeffer, qui est a priori plus faible. Ce résultat est publié dans les Annals of Mathematics [ 8] .
En juillet 2019, Dimitris Koukoulopoulos et James Maynard ont annoncé une preuve de la conjecture[ 9] . En juillet 2020, la preuve a été publiée dans les Annals of Mathematics [ 10] .
Problèmes connexes
Un analogue de dimension supérieure de cette conjecture a été résolu par Vaughan et Pollington en 1990[ 4] , [ 11] , [ 12] .
Notes
↑ Duffin et Schaeffer, « Khintchine's problem in metric diophantine approximation », Duke Math. J. , vol. 8, no 2, 1941 , p. 243–255 (DOI 10.1215/S0012-7094-41-00818-9 , zbMATH 0025.11002 )
↑ Koukoulopoulos et Maynard, « On the Duffin-Schaeffer conjecture », Annals of Mathematics , vol. 192, no 1, 2020 , p. 251 (DOI 10.4007/annals.2020.192.1.5 , JSTOR 10.4007/annals.2020.192.1.5 , arXiv 1907.04593 , S2CID 195874052 , lire en ligne )
↑ Harman (2002) p. 68
↑ a b et c Hugh L. Montgomery , Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis , vol. 84, Providence, RI, American Mathematical Society , coll. « Regional Conference Series in Mathematics », 1994 (ISBN 978-0-8218-0737-8 , zbMATH 0814.11001 ) , p. 204
↑ Harman (1998) p. 27
↑ « Duffin-Schaeffer Conjecture », Ohio State University Department of Mathematics , 9 août 2010 (consulté le 19 septembre 2019 )
↑ Harman (1998) p. 28
↑ Beresnevich et Velani, « A mass transference principle and the Duffin-Schaeffer conjecture for Hausdorff measures », Annals of Mathematics , second Series, vol. 164, 2006 , p. 971–992 (ISSN 0003-486X , DOI 10.4007/annals.2006.164.971 , zbMATH 1148.11033 , arXiv math/0412141 , S2CID 14475449 )
↑ Sloman, « New Proof Solves 80-Year-Old Irrational Number Problem », Scientific American , 2019 (lire en ligne )
↑ Koukoulopoulos et Maynard, « On the Duffin-Schaeffer conjecture », Annals of Mathematics , vol. 192, no 1, 2020 , p. 251 (DOI 10.4007/annals.2020.192.1.5 , JSTOR 10.4007/annals.2020.192.1.5 , arXiv 1907.04593 , S2CID 195874052 , lire en ligne ) Koukoulopoulos, Dimitris; Maynard, James (2020). "On the Duffin-Schaeffer conjecture" . Annals of Mathematics . 192 (1): 251. arXiv :1907.04593 . doi :10.4007/annals.2020.192.1.5 . JSTOR 10.4007/annals.2020.192.1.5 . S2CID 195874052 .
↑ Pollington et Vaughan, « The k dimensional Duffin–Schaeffer conjecture », Mathematika , vol. 37, 1990 , p. 190–200 (ISSN 0025-5793 , DOI 10.1112/s0025579300012900 , zbMATH 0715.11036 , lire en ligne )
↑ Harman (2002) p. 69
Références
Glyn Harman , Metric number theory , vol. 18, Oxford, Clarendon Press , coll. « London Mathematical Society Monographs. New Series », 1998 (ISBN 978-0-19-850083-4 , zbMATH 1081.11057 )
Glyn Harman , Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory , Natick, MA, A K Peters, 2002 , 57–74 p. (ISBN 978-1-56881-162-8 , zbMATH 1062.11052 ) , « One hundred years of normal numbers »
Liens externes