Conjecture d'Erdős-Turán sur les bases additives

La conjecture d'Erdős-Turán est un problème non résolu en théorie additive des nombres, posé en 1941 par Paul Erdős et Pál Turán dans un article sur le problème de Sidon[1].

Histoire

À la fin de leur article, Erdős et Turán énoncent deux conjectures sur la fonction f(n) = nombre de représentations de n comme somme de deux termes (non nécessairement distincts) d'un ensemble donné B d'entiers naturels. La seconde est :

« Si f(n) > 0 pour n > n₀, alors lim f(n) = ∞. »

L'hypothèse « f(n) > 0 pour n assez grand » se reformule en disant[2] que B est une base additive (asymptotique) d'ordre 2.

Ce problème a retenu l'attention des spécialistes[2], mais n'est toujours pas résolu.

État de l'art

Dans cette conjecture non résolue, il y a eu cependant des avancées significatives.

On peut d'abord étendre le problème de l'ordre 2 à l'ordre h : on dit qu'un ensemble B d'entiers naturels est une base additive (asymptotique) d'ordre h si tout entier assez grand s'écrit comme somme de h éléments de B, autrement dit si la fonction associée (qui pour h = 2 est la fonction f d'Erdős et Turán)

${\displaystyle r_{h,B}(n)={\text{card}}\left(\{(a_{1},\ldots ,a_{h})\in B^{h}~|~a_{1}+\ldots +a_{h}=n\}\right)}$

vérifie, pour n assez grand :

${\displaystyle r_{h,B}(n)>0.}$

Or un argument élémentaire montre que l'on a toujours

${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}r_{h,B}(m)\leq \left({\text{card}}(B\cap [1,n])\right)^{h}\leq \sum _{m=1}^{hn}r_{h,B}(m).}$

Il en résulte[2] que si B est une base d'ordre h alors card(B∩[1, n]) = Ω(n^1/h).

Erdős a réussi en 1956 à répondre positivement (bien que non explicitement) à une question posée par Sidon plus de vingt ans auparavant[3] : existe-t-il une base additive B d'ordre 2 telle que, pour tout ε > 0, r_2,B(n) = o(n^ε) ? Plus précisément, il a montré, par une utilisation répétée du théorème de Borel-Cantelli, l'existence de deux constantes c₃ et c₂ > 0 telles que pour presque tout ensemble infini B d'entiers naturels on ait, pour n assez grand :

${\displaystyle c_{2}\log n<r_{2,B}(n)<c_{3}\log n,}$

ce qui l'a amené à poser la question : existe-t-il un ensemble infini B d'entiers naturels tel que r_{2, B}(n)/log(n) possède une limite non nulle ?

En 1986, Eduard Wirsing a démontré que pour une large classe de bases additives B, incluant celle des nombres premiers, il existe une partie de B qui est encore une base additive mais qui est significativement plus « fine » que B (au sens de la comparaison asymptotique des fonctions r correspondantes)[4].

En 1990, Erdős et Tetali ont étendu le résultat de 1956 d'Erdős à des bases d'ordre arbitraire[5].

En 2000, Van H. Vu a démontré que les bases de Waring possèdent des sous-bases « fines », à l'aide de la méthode du cercle de Hardy-Littlewood et de ses résultats de concentration polynomiale[6].

En 2006, Borwein, Choi et Chu ont démontré que pour toute base B d'ordre 2, sup(r_2,B(n)) ≥ 8[7],[8].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Erdős–Turán conjecture on additive bases » (voir la liste des auteurs).

1. (en) P. Erdős et P. Turán, « On a problem of Sidon in additive number theory, and on some related problems », J. London Math. Soc., vol. 16,‎ 1941, p. 212-216 (lire en ligne)
2. (en) Terence Tao et Van H. Vu, Additive Combinatorics, Cambridge (GB), CUP, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (n^o 105), 2006, 512 p. (ISBN 978-0-521-85386-6, lire en ligne), p. 13
3. (en) M. P. Erdős, « Problems and results in additive number theory », dans Colloque sur la théorie des nombres, Bruxelles, CBRM, 1956 (lire en ligne), p. 127-137
4. (en) Eduard Wirsing, « Thin subbases », Analysis, vol. 6,‎ 1986, p. 285-308
5. (en) Paul Erdős et Prasad Tetali, « Representations of Integers as the Sum of k Terms », Random Structures Algorithms, vol. 1, n^o 3,‎ 1990, p. 245-261 (lire en ligne)
6. (en) Van. H. Vu, « On a refinement of Waring's problem », Duke Math. J., vol. 105, n^o 1,‎ 2000, p. 107-134 (lire en ligne)
7. (en) Peter Borwein, Stephen Choi et Frank Chu, « An old conjecture of Erdős-Turán on additive bases », Math. Comp., vol. 75, n^o 253,‎ 2006, p. 475-484 (lire en ligne)
8. (en) Yao Xiao, On the Erdős-Turán Conjecture and Related Results : Master of Mathematics Thesis inPure Mathematics, Univ. Waterloo, 2011 (lire en ligne)