Chapeaux chinois

En mathématiques, les chapeaux chinois sont une dénomination regroupant les familles de fonctions continues, affines par morceaux, définies sur la demi-droite ${\displaystyle [0:+\infty [}$ permettant de donner des exemples de convergence simple non uniforme. Une famille de telles fonctions sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ est donnée par exemple par :

${\displaystyle f_{n}:x\mapsto {\frac {1}{n}}x\mathrm {X} _{[0;n]}+{\frac {1}{n}}(2n-x)\mathrm {X} _{]n;2n]}}$

Ces dernières forment également un contre-exemple classique au théorème de convergence dominée de Henri Lebesgue lorsqu'on oublie l'hypothèse de domination sur l'intervalle d'intégration, ici la demi-droite ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$[1]. On trouve l'évocation de ces concepts chez Gustave Choquet[2] mais également chez son élève, Jean-Louis Ovaert.

Démonstration

Un calcul d'aire montre que l'intégrale sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ de la fonction ${\displaystyle f_{n}}$ vaut ${\displaystyle n}$. La limite simple de ces fonctions est la fonction nulle. On en déduit que l'hypothèse de domination n'est pas satisfaite.

Voir aussi

Références

1. [PDF] Laurent Desvilettes, Les Méthodes Mathématiques pour la Physique
2. Nicolas Bouleau, Dialogues autour de la création mathématique, Association Laplace-Gauss, p.93, 1997, disponible chez Hal

Articles connexes

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• Bosses glissantes