Centre de pression

En mécanique du solide, le centre de pression (CdP) est un point dynamique caractéristique d'un contact entre deux surfaces planes.

Définition et calcul

Contact entre le pied d'un robot humanoïde et une surface planaire

Considérons l'exemple ci-contre où le pied du robot humanoïde est en contact avec une surface plane. La résultante ${\displaystyle F^{c}}$ des forces de contact exercées par l'environnement sur le robot à travers la surface peut se décomposer en deux termes :

• la résultante ${\displaystyle F^{p}=(F^{c}\cdot n)\,n}$ des forces de pression, ainsi que
• la résultante ${\displaystyle F^{f}=F^{c}-F^{p}}$ des forces de frottement entre les deux surfaces. Ces forces sont tangentes à la surface (${\displaystyle F^{f}\cdot n=0}$).

Ces résultantes sont la somme de forces infinitésimales exercées à chaque élément de surface ${\displaystyle {\rm {d}}{\cal {S}}}$ de la surface de contact ${\displaystyle {\cal {S}}}$. En notant ${\displaystyle p(P)}$ la pression en un point ${\displaystyle P\in {\cal {S}}}$ :

${\displaystyle F^{p}=\int _{P\in {\cal {S}}}p(P){\rm {d}}{\cal {S}}}$

Comme le pied du robot ne peut pas pénétrer à l'intérieur du sol, la pression est toujours une quantité positive (on parle d'« unilatéralité des contacts »). Il en résulte l'existence d'un centre de pression, c'est-à-dire un point où le moment des forces de pression s'annule complètement (de même qu'au point d'application d'une force celle-ci n'exerce aucun moment). Celui-ci est donné par :

${\displaystyle M_{C}^{p}\ =\ {\boldsymbol {0}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {OC}}\times (F^{p}\cdot n)n\ =\ -M_{O}^{p}}$

${\displaystyle (F^{p}\cdot n)\,n\times {\overrightarrow {OC}}\times n\ =\ -n\times M_{O}^{p}}$

Les points ${\displaystyle O}$ et ${\displaystyle C}$ étant coplanaires, on obtient ainsi :

${\displaystyle {\overrightarrow {OC}}={\frac {M_{O}^{p}\times n}{n\cdot F^{p}}}}$

Par ailleurs, les forces de frottement étant parallèles à la surface de contact par définition, leur moment est aligné avec ${\displaystyle n}$, de sorte que la relation ci-dessus s'écrit également

${\displaystyle {\overrightarrow {OC}}={\frac {M_{O}^{c}\times n}{n\cdot F^{c}}}}$

On utilise cette formule en pratique pour mesurer le CdP à l'aide d'un capteur de force.

Lien avec le ZMP

On reconnaît la formule du ZMP, appliquée cette fois-ci au torseur de contact (local) au lieu du torseur inertiel. Lorsqu'il n'y a qu'un seul contact, ces deux torseurs sont opposés en vertu de l'équation de Newton-Euler (voir l'article ZMP pour plus de détails), ce qui implique que le CdP et le ZMP coïncident[1].

Surface de sustentation

Tant que le contact avec la surface ne rompt pas, le centre de pression réside nécessairement à l'intérieur de la surface de contact. En effet, le moment des forces des contacts peut être réécrit :

${\displaystyle M_{O}^{c}\ =\ \int _{P\in {\cal {S}}}{\overrightarrow {OP}}\times p(P)n{\rm {d}}{\cal {S}}}$

La formule du CdP ci-dessus devient alors :

${\displaystyle {\overrightarrow {OC}}\ =\ {\frac {\int _{P\in {\cal {S}}}p(P){\overrightarrow {OP}}{\rm {d}}{\cal {S}}}{\int _{P\in {\cal {S}}}p(P){\rm {d}}{\cal {S}}}}}$

Ainsi, le CdP est la moyenne des points de contacts pondérée par les pressions qui y sont exercées. Lorsqu'il franchit le bord de la zone ${\displaystyle {\cal {S}}}$, le contact rompt et le pied du robot bascule. Pour éviter cela, les robots humanoïdes s'appliquent donc à maintenir leurs centres de pression à l'intérieur de ces zones pour chaque contact. Ce critère est une condition de non-basculement, et on parle alors de surface de sustentation pour désigner la zone ${\displaystyle {\cal {S}}}$.

Notes et références

1. P. Sardain et G. Bessonnet, « Forces acting on a biped robot. Center of pressure-zero moment point », IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics - Part A: Systems and Humans, vol. 34,‎ 1^er septembre 2004, p. 630–637 (ISSN 1083-4427, DOI 10.1109/TSMCA.2004.832811, lire en ligne, consulté le 3 août 2016)