Carl Johan Malmsten

Carl Johan Malmsten

Fonctions

Membre de la Première chambre du Riksdag suédois Skaraborg County Constituency (d)
1867-1870
Governor of Skaraborg County
1866-1879
Jonas Wærn (d) Cornelius Sjöcrona (d)
Ministre sans portefeuille De Geer the Elder I Cabinet (d) Adlercreutz Cabinet (d)
29 janvier 1859 - septembre 1866
Principal of Uppsala University
1855-1856
Christopher Jacob Boström (en) Olof Wingqvist (d)

Biographie

Naissance	9 avril 1814 Paroisse de Skara (d)
Décès	11 février 1886 (à 71 ans) Paroisse de la cathédrale d’Uppsala (d)
Sépulture	Vieux cimetière d'Uppsala (en)
Nom dans la langue maternelle	Carl Johan Malmstén
Nationalité	suédoise
Formation	Université d’Uppsala (à partir de 1833)
Activités	Mathématicien, professeur d'université, homme politique
Mère	Sara Christina Malmsten (d)
Fratrie	Pehr Henrik Malmsten (d)
Enfant	Anna Christina Säve (d)
Parentèle	Ernst Christian Julius Schering (en) (gendre)

Autres informations

A travaillé pour	Université d’Uppsala
Membre de	Société royale des sciences d'Uppsala (1843) Académie royale des sciences de Suède (1844) Société royale des sciences et des lettres de Göteborg (en) (1855) Société royale de physiographie à Lund (en) (1860) Académie royale danoise des sciences et des lettres (1869) Académie royale des sciences de Prusse (1880) Académie des sciences de Göttingen (1882) Académie des Lyncéens (1883)
Maître	Jöns Svanberg

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Carl Johan Malmsten (9 avril 1814, Uddetorp, Suède – 11 février 1886, Uppsala) est un mathématicien et un homme politique suédois, connu pour ses découvertes en analyse complexe[1], et pour l'aide qu'il a apportée à Mittag-Leffler dans sa création du journal Acta Mathematica[2]. On a redécouvert à la fin du 20^e siècle ses évaluations de plusieurs importantes séries et intégrales logarithmiques.

Malmsten est devenu maître de conférences en 1840, puis professeur de mathématiques en 1842 à l'université d'Uppsala. Il fut élu à l'Académie royale des sciences de Suède en 1844. Il était également ministre sans portefeuille de 1859 à 1866, et gouverneur du comté de Skaraborg de 1866 à 1879.

Principales contributions

Bien que Malmsten soit surtout connu pour ses travaux en analyse complexe[1], il a aussi apporté de grandes contributions à d'autres branches des mathématiques, mais ses résultats ont été injustement oubliés, ou attribués à d'autres, souvent bien postérieurs. Ainsi, ce n'est qu'en 2012 que Iaroslav Blagouchine découvrit que Malmsten avait été le premier à déterminer la valeurs de plusieurs intégrales et séries liées aux fonctions gamma et zêta, parmi lesquelles des séries attribuées jusque-là à Kummer et des intégrales calculées par Ilan Vardi[3]. Malmsten obtint ainsi en 1842 l'ensemble des intégrales suivantes, mettant en jeu la fonction logarithme itéré[3] :

${\displaystyle \,\int _{1}^{\infty }\!{\frac {\,\ln \ln {x}\,}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x\,=\,{\frac {\pi }{\,2\,}}\ln \left({\frac {\Gamma {(3/4)}}{\Gamma {(1/4)}}}{\sqrt {2\pi \,}}\right)}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{(1+x)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {\pi }{2}}-\gamma \right),}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1-x+x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\ln \left({\frac {\sqrt[{6}]{32\pi ^{5}}}{\Gamma {(1/6)}}}\right)}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+x+x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\ln \left({\frac {\Gamma {(2/3)}}{\Gamma {(1/3)}}}{\sqrt[{3}]{2\pi }}\right)}$

et plus généralement :

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2\sin \varphi }}\ln \left\{{\frac {(2\pi )^{\frac {\varphi }{\pi }}\,\Gamma \!\left(\!{\frac {1}{\,2\,}}+{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!{\frac {1}{\,2\,}}-{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\right)}}\right\},\qquad \varphi \in ]-\pi ,0[\cup ]0,\pi [}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {x}}{1-x^{2}+x^{4}-\cdots +x^{2n-2}}}\,\mathrm {d} x\\\ &={\frac {\pi }{\,2n\,}}\sec {\frac {\,\pi \,}{2n}}\!\cdot \ln \pi +{\frac {\pi }{\,n\,}}\cdot \!\!\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\;\;{\frac {1}{2}}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\cos {\frac {\,(2l-1)\pi \,}{2n}}\cdot \ln \left(\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}{\Gamma \!\left(\displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}}\right),\qquad n=3,5,7,\ldots \end{aligned}}}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {x}}{1+x^{2}+x^{4}+\cdots +x^{2n-2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n}}\tan {\frac {\,\pi \,}{2n}}\ln 2\pi +{\frac {\pi }{n}}\sum _{l=1}^{n-1}(-1)^{l-1}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}}\right\},\quad n=2,4,6,\ldots \\[10mm]\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n}}\tan {\frac {\,\pi \,}{2n}}\ln \pi +{\frac {\pi }{n}}\!\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\;\;\;{\frac {1}{2}}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {\,l}{n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {\,l}{n}}\!\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots \end{cases}}}$

(pour lesquelles ${\displaystyle \Gamma }$ désigne la fonction gamma et ${\displaystyle \gamma }$ la constante d'Euler)

Beaucoup de ces intégrales furent redécouvertes par plusieurs auteurs à partir de 1988, en particulier Vardi[4], Adamchik[5], Medina[6], et Moll[7] ; la première a été souvent nommée intégrale de Vardi , et figure sous ce nom sur MathWorld[8] ou sur le site de l'OEIS[9]. Malmsten obtint les formules précédentes par des manipulations de séries, mais les auteurs les ayant redécouvertes utilisèrent des intégrales de contour[3], la fonction zêta de Hurwitz[5], les polylogarithmes[6], ou encore les fonctions L[4]. Plus de 70 intégrales analogues plus complexes ont été découvertes par Adamchik[5] et Blagouchine[3], par exemple les deux suivantes[5] :

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {x\ln \ln x}{1+x^{3}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\ln 2}{6}}\ln {\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\left[\ln 54-8\ln 2\pi +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\right]}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln x}{(1-x+x^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {\gamma }{3}}-{\frac {1}{3}}\ln {\frac {6{\sqrt {3}}}{\pi }}+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{27}}\left\{5\ln 2\pi -6\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\right\}}$

Certaines de ces intégrales font apparaitre des arguments complexes de la fonction gamma (ce qui est plutôt inhabituel), par exemple[3] :

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln {x}}{1+4x^{2}+x^{4}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\,\pi \,}{\,2{\sqrt {3\,}}\,}}\mathrm {Im} \!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{2\pi i}}\right)\!\right]+\,{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{\,4{\sqrt {3\,}}\,}}\ln \pi }$,

et d'autres sont liées aux constantes de Stieltjes[3],[10],[11].

En 1842, Malmsten détermina également la valeur de plusieurs séries mettant en jeu des logarithmes, par exemple

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}\left(\ln \pi -\gamma \right)-\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}$

et

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {\sin an\cdot \ln {n}}{n}}\,=\,\pi \ln \left\{{\frac {\pi ^{{\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2\pi }}}}{\Gamma \left(\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {a}{2\pi }}\right)}}\right\}-{\frac {a}{2}}\left(\gamma +\ln 2\right)-{\frac {\pi }{2}}\ln \cos {\frac {a}{2}}\,,\qquad -\pi <a<\pi ,}$

lesquelles furent redécouvertes (sous une forme légèrement différente) par Ernst Kummer en 1847[3].

Malsmten apporta également une contribution notable à la théorie des fonctions L, obtenant en 1842 l'importante équation fonctionnelle

${\displaystyle L(s)\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\qquad \qquad L(1-s)=L(s)\Gamma (s)2^{s}\pi ^{-s}\sin {\frac {\pi s}{2}},}$

et son analogue pour la fonction M définie par

${\displaystyle M(s)\equiv {\frac {2}{\sqrt {3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\sin \left({\frac {\pi n}{3}}\right)\qquad \qquad M(1-s)=\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\,M(s)\Gamma (s)3^{s}(2\pi )^{-s}\left({\frac {\pi s}{2}}\right),}$

(dans ces deux formules, 0<s<1). La première avait été découverte par Leonhard Euler en 1749[12], mais Malmsten en donna une démonstration rigoureuse. Quatre ans plus tard, Malmsten obtint d'autres formules analogues, cas particuliers de l'équation fonctionnelle de Hurwitz.

Enfin, en 2014, Blagouchine découvrit[10] que Malmsten avait obtenu en 1846 la formule de réflexion pour les constantes de Stieltjes  :

${\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {m}{n}}\right)-\gamma _{1}\left(1-{\frac {m}{n}}\right)=2\pi \sum _{l=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma \left({\frac {l}{n}}\right)-\pi (\gamma +\ln 2\pi n)\cot {\frac {m\pi }{n}}}$

(m et n entiers positifs avec m<n). Dans la littérature, cette identité est en général attribuée à Almkvist et Meurman, qui l'ont obtenue dans les années 1990[10].

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Carl Johan Malmsten » (voir la liste des auteurs).

1. (su) Carl Malmsten, Om definita integraler mellan imaginära gränsor (1865).
2. Lettre de Mittag-Lefler à Henri Poincaré.
3. (en) Iaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014. Erratum-Addendum: vol. 42, pp. 777-781, 2017. PDF
4. (en) I. Vardi, « Integrals, an introduction to analytic number theory », American Mathematical Monthly, vol. 95,‎ 1988, pp. 308-315.
5. (en) V. Adamchik, « A class of logarithmic integrals », Proceedings of the 1997 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation,‎ 1997, pp. 1-8.
6. (en) L. A. Medina et V. H. Moll, « A class of logarithmic integrals », The Ramanujan Journal, vol. 20, n^o 1,‎ 2009, pp. 91-126.
7. (en) V. H. Moll, « Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals », MAA Short Course, San Antonio, TX,‎ 2006.
8. (en) Eric W. Weisstein, « Vardi's Integral », sur MathWorld
9. Voir les références de la suite A115252 de l'OEIS
10. (en) Iaroslav V. Blagouchine A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations Journal of Number Theory (Elsevier), vol. 148, pp. 537-592 and vol. 151, pp. 276-277, 2015. arXiv PDF
11. (en) « real analysis - Integral $ \int_0^1 \frac{\ln \ln (1/x)}{1+x^{2p}} dx$...Definite Integral », sur Mathematics Stack Exchange (consulté le 25 juillet 2020)
12. L. Euler Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres, année MDCCLXI, Tome 17, pp. 83-106, A Berlin, chez Haude et Spener, Libraires de la Cour et de l'Académie Royale, 1768 [read in 1749]

Voir aussi

Liens externes

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