En mathématiques et plus précisément en théorie de l'homotopie, le cône d'une application est un espace topologique construit à partir du cône ayant pour base l'espace de départ de l'application, en identifiant les points de cette base avec ceux de l'espace d'arrivée au moyen de l'application.
Définition
Soit X et Y deux espaces topologiques et f : X → Y une application continue. Le cône de l'application f ou cofibre homotopique de f, noté Cf[1], est l'espace topologique« obtenu en attachantC(X) (le cône de X) à Y le long de f[2] », c'est-à-dire en quotientant la réunion disjointeCX⊔Y par l'identification de chaque élément x de X ⊂ CX avec son image f(x) dans Y. Plus explicitement, c'est le quotient de la réunion disjointe X×[0, 1]⊔Y par la relation d'équivalence : (x, 0) ∼ (x', 0) et (x, 1) ∼ f(x)[3].
Cône réduit d'une application pointée
Pour un morphisme d'espaces pointésf : (X, x0) → (Y, y0), en quotientant de plus par (x0, t) ∼ y0 (pour tout t ∈ [0, 1] et pas seulement pour t = 1), on obtient le « cône réduit » C✻f de f. Cela revient à remplacer, dans la définition ci-dessus, le cône CX de l'espace par le cône réduitC✻(X, x0) de l'espace pointé.
Exemples
Si X est la sphère Sn, CX est (homéomorphe à) la (n+1)-boule fermée Bn+1. Cfest alors le quotient de l'union disjointe de cette boule avec Y, par l'identification de chaque point x du bord ∂Bn+1 = Sn de cette boule avec son image f(x) dans Y.
Si Y = CX et si f est l'inclusioncanonique de X dans son cône, Cf est le quotient de X×[0, 1] par : (x, 0) ∼ (x', 0) et (x, 1) ∼ (x', 1). C'est la suspensionSX de l'espace X.
À l'intersection des deux exemples précédents, le cône de l'inclusion canonique de Sndans Bn+1 est Sn+1.
Pour f : X → Y , l'espace Y est, de façon naturelle, un sous-espace de Cf et l'inclusion de Y dans Cfest une cofibration.
Si f est injective et relativement ouverte, c'est-à-dire si elle induit un homéomorphisme de X sur f(X), alors CX est également inclus dans Cf(donc X aussi).
Le cône de l'application identité de X est naturellement homéomorphe au cône de X.
Toutes ces propriétés se transposent aux espaces pointés, en prenant les cônes réduits d'applications pointées et d'espaces pointés.
de recollement des (n + 1)-cellules, le long de leur bord, au n-squelette.
Effet sur le groupe fondamental
Pour tout espace pointé (X, x0) et tout lacet α : (S1, 1) → (X, x0), représentant un élément du groupe fondamental de (X, x0), on peut former le cône C✻α. Dans ce cône, le lacet α devient contractile donc sa classe d'équivalence dans le groupe fondamental de (C✻α, x0) est l'élément neutre.
Soit H✻ une théorie homologique. L'application f : X → Y induit un isomorphisme en H✻ si et seulement si l'application du point dans Cfinduit un isomorphisme en H✻, c'est-à-dire si H✻(Cf, ∙) = 0.
Rôle en théorie de l'homotopie
Si A est un fermé de X et si l'inclusion i de A dans X est une cofibration, alors le cône de i est homotopiquement équivalent à X/A. Comme la cofibration de Y dans Cfest fermée, son cône est homotopiquement équivalent à Cf/Y donc à la suspensionSX de X. En continuant ainsi, le cône de l'inclusion de Cfdans SX donne la suspension de Y, etc.
Si h : Y → Z est une autre application continue, la composéeh∘f est homotopiquement nulle si et seulement si h est prolongeable en une application continue de Cfdans Z.
(en) Robert M. Switzer, Algebraic Topology – Homology and Homotopy, Springer, coll. « Classics in Mathematics », (1re éd. 1975), 526 p. (ISBN978-3-540-42750-6)