Boson de Schwinger

Les bosons de Schwinger sont des particules fictives introduites par Julian Schwinger[1],[2]pour représenter les opérateurs de spin en mécanique quantique au moyen du formalisme de seconde quantification.

Soient ${\displaystyle b_{\sigma }}$avec ${\displaystyle \sigma =\uparrow ,\downarrow }$les opérateurs d'annihilation des bosons de spin ${\displaystyle \sigma }$, et ${\displaystyle b_{\sigma }^{\dagger }}$les opérateurs de création. Les opérateurs de spin ${\displaystyle S}$ sont donnés par les relations

${\displaystyle S^{+}=S_{x}+iS_{y}=b_{\uparrow }^{\dagger }b_{\downarrow }}$

${\displaystyle S^{-}=S_{x}-iS_{y}=b_{\downarrow }^{\dagger }b_{\uparrow }}$

${\displaystyle S^{z}={\frac {1}{2}}(b_{\uparrow }^{\dagger }b_{\uparrow }-b_{\downarrow }^{\dagger }b_{\downarrow })}$

avec la contrainte ${\displaystyle b_{\uparrow }^{\dagger }b_{\uparrow }+b_{\downarrow }^{\dagger }b_{\downarrow }=2S}$. Si on élimine la contrainte pour avoir une seule espèce de boson, on retrouve le formalisme d'Holstein et Primakoff.

Généralisations

Le formalisme des bosons de Schwinger, initialement appliqué à l'étude des représentations du groupe ${\displaystyle SU(2)}$, peut se généraliser au cas des groupes ${\displaystyle SU(N),N\geq 3}$ et permet de construire leurs représentations irréductibles[3].

Applications en physique de la matière condensée

Le formalisme des bosons de Schwinger est utilisé dans la théorie de l'antiferromagnétisme pour traiter les systèmes où les fluctuations sont importantes[4],[5]. Il permet en particulier de reproduire le gap de Haldane et les états de bord dans la chaîne de spin-1 antiferromagnétique[6]. Sur un réseau bipartite, on peut remplacer les spins ${\displaystyle SU(2)}$ par des spins ${\displaystyle SU(N)}$ dans la représentation fondamentale sur un des sous réseaux, et par des spins dans la représentation conjuguée sur l'autre sous-réseau, puis prendre la limite ${\displaystyle N\to +\infty }$[4] dans laquelle l'approximation de champ moyen devient exacte. Sur un réseau non-bipartite, qui peut se rencontrer dans le magnétisme frustré, la généralisation adaptée consiste à replacer les spins ${\displaystyle SU(2)}$ par des spins ${\displaystyle Sp(N)}$[7]correspondant à un groupe symplectique.

Notes et références

1. (en) J. Schwinger, « ON ANGULAR MOMENTUM », preprint, n^o NYO-3071, 4389568,‎ 26 janvier 1952, NYO–3071, 4389568 (DOI 10.2172/4389568, lire en ligne [PDF], consulté le 13 février 2022)
2. Julian Schwinger, On angular momentum, Mineola, NY, Dover, 2015 (1^re éd. 1952) (ISBN 978-0-486-78810-4 et 0-486-78810-5, OCLC 897436527, lire en ligne)
   republication du preprint de 1952
3. Manu Mathur, Indrakshi Raychowdhury et Ramesh Anishetty, « SU(N) Irreducible Schwinger Bosons », Journal of Mathematical Physics, vol. 51, n^o 9,‎ septembre 2010, p. 093504 (ISSN 0022-2488 et 1089-7658, DOI 10.1063/1.3464267, lire en ligne, consulté le 8 avril 2023)
4. Claudine Lacroix (dir.), Philippe Mendels (dir.), Frédéric Mila (dir.), Assa Auerbach et Daniel P. Arovas, Introduction to Frustrated Magnetism: Materials, Experiments, Theory, Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 2011 (ISBN 9783642105890, lire en ligne), chap. 14 (« Schwinger Bosons Approaches to Quantum Antiferromagnetism »), pp. 365-377
5. Shang-Shun Zhang, E. A. Ghioldi, L. O. Manuel et A. E. Trumper, « Schwinger boson theory of ordered magnets », arXiv:2109.03964 [cond-mat],‎ 8 septembre 2021 (lire en ligne, consulté le 13 février 2022)
6. (en) T. K. Ng, « Edge states in Schwinger-boson mean-field theory of low-dimensional quantum antiferromagnets », Physical Review B, vol. 47, n^o 17,‎ 1^er mai 1993, p. 11575–11578 (ISSN 0163-1829 et 1095-3795, DOI 10.1103/PhysRevB.47.11575, lire en ligne, consulté le 8 avril 2023)
7. Rebecca Flint et P. Coleman, « Symplectic N and time reversal in frustrated magnetism », Physical Review B, vol. 79, n^o 1,‎ 21 janvier 2009, p. 014424 (ISSN 1098-0121 et 1550-235X, DOI 10.1103/PhysRevB.79.014424, lire en ligne, consulté le 8 avril 2023)