Alexandre Pilati et les espoirs de l'UBB remportent au terme de la saison 2015-2016 le championnat de France espoirs, battant l'ASM Clermont Auvergne en finale, départagée lors d'une ultime séance de tirs au but[11].
Malgré de premiers entraînements avec le groupe professionnel de l'UBB, une blessure au genou lui retire l'opportunité d'être aligné sur une feuille de match[12]. Non conservé après six saisons[13] et recherchant du temps de jeu, il rejoint l'US Dax en Pro D2 à l'intersaison 2017, signant un contrat d'un an[14],[5] en tant que membre du centre de formation[15]. Il est appelé dans le groupe professionnel dès le mois de septembre, disputant alors ses premières minutes de jeu contre le RC Massy, en tant que titulaire[3],[1].
Malgré la relégation de l'US Dax en Fédérale 1 à l'intersaison 2018, son contrat est maintenu jusqu'en 2019, toujours sous la tutelle du centre de formation[17]. En parallèle, il entraîne les cadettes du club[18]. À l'issue de sa première saison en Fédérale 1, il prolonge pour une saison supplémentaire plus une optionnelle[19]. Alors qu'il dispute la saison inaugurale de Nationale en 2020-2021, une entorse de la cheville l'éloigne des terrains pendant plusieurs mois[20]. En convalescence au CERS de Capbreton, Pilati, né d'une mère ivoirienne, est tout de même convoqué pour un stage de la sélection ivoirienne se déroulant au même endroit, en prévision du processus de qualification de la zone Afrique pour la Coupe du monde 2023[21],[12]. Malgré une année tronquée par la situation sanitaire et sa blessure, il prolonge son contrat pour deux saisons supplémentaires[22].
À l'intersaison 2021, il porte le maillot du club de rugby à sept du Monaco Rugby Sevens lors de l'étape de Toulouse du Supersevens[23], au terme de laquelle le groupe monégasque s'impose en finale[24]. En parallèle de sa carrière de joueur en Nationale, il occupe le rôle d'entraîneur principal des arrières de l'équipe féminine cette saison, évoluant alors en Élite 2[12],[25].
En août 2022, il joue de nouveau avec le Monaco Rugby Sevens lors de l'étape de Pau du Supersevens[31]. Les Monégasques s'imposent en finale face à la Section paloise[32].
À l'intersaison 2024, Pilati est rappelé sous le maillot national ivoirien dans le cadre de la Coupe d'Afrique[33],[note 1] ; il est nommé capitaine à cette occasion[35].