Aleksey Voyevodin se révèle durant l'année 2002 en décrochant la médaille d'argent du 50 km marche des Championnats d'Europe de Munich en 3 h 40 min 16 s, terminant à près de quatre minutes du Polonais Robert Korzeniowski. Il remporte en fin de saison à Turin son premier titre lors d'une Coupe du monde de marche. En 2003, il se classe deuxième de la Coupe d'Europe de marche disputée à Tcheboksary, permettant à l'équipe de Russie de remporter le titre continental sur 50 km. Pour sa quatrième participation consécutive, Voyevodin échoue au pied du podium des Championnats du monde de Paris avec le temps de 3 h 38 min 01 s, la meilleure performance de sa carrière.
En début de saison 2004, le Russe décroche son deuxième titre consécutif lors de la Coupe du monde de marche de Naumbourg, établissant en 3 h 42 min 44 s son meilleur temps de l'année sur la distance. Sélectionné pour les Jeux olympiques d'été de 2004 à Athènes, Voyevodin s'empare de la médaille de bronze du 50 km, battu par Robert Korzeniowski et Denis Nizhegorodov. En 2005, il devient vice-champion du monde à Helsinki dans le temps de 3 h 41 min 25 s, trois minutes derrière son compatriote Sergey Kirdyapkin.