Équation sextique

Équation du sixième degré

Fonction sextique possédant 6 zéros. Une fonction sextique possède toujours 6 zéros complexes ou réels. Le nombre de zéros complexes est égal à 6-n, où n est le nombre de zéros réels, compris entre 0 et 6.

Une équation sextique est une équation polynomiale de degré 6[1] de la forme ${\displaystyle ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0}$, où ${\displaystyle a,b,c,d,e,f}$ sont des coefficients réels ou complexes (ou appartenant à n'importe quel corps). On a spécifiquement ${\displaystyle a\neq 0}$.

Une telle équation est obtenu à partir d'un polynôme ${\displaystyle P=f(x)}$, où ${\displaystyle f(x)}$ est une fonction sextique de la forme ${\displaystyle ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g}$, ${\displaystyle a\neq 0}$.

Selon le théorème d'Abel, la plupart des équations sextiques ne sont pas résolubles par radicaux[2]. D'autres, comme les équations suivantes, le sont :

${\displaystyle ax^{6}+b=0,\quad a\neq 0}$, qui peut se ramener au cas linéaire

${\displaystyle ax^{6}+bx^{3}+c=0,\quad a\neq 0}$, qui peut se ramener au cas quadratique

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Sextic Equation », sur MathWorld

Notes et références

1. Raghavendra G. Kulkarni, « Solving sextic equations », Atlantic Electronic Journal of Mathematics, vol. 3, n^o 1,‎ 2008, p. 193–209 (lire en ligne [PDF], consulté le 14 janvier 2023)
2. « Beweis der Unmöglichkeit, algebraische Gleichungen von höheren Graden als dem vierten allgemein aufzulösen. », Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), vol. 1826, n^o 1,‎ 1^er janvier 1826, p. 65–84 (ISSN 0075-4102 et 1435-5345, DOI 10.1515/crll.1826.1.65, lire en ligne, consulté le 14 janvier 2023)