Équation d'Allen-Cahn

Une solution numérique de l'équation d'Allen Cahn à une dimension.

L’équation d'Allen-Cahn est l'équation de réaction-diffusion du processus de séparation de phases dans des systèmes d'alliage à composantes multiples avec des transitions ordre-désordre. Son nom fait référence à ses inventeurs, John W. Cahn et son étudiant Sam Allen.

Contexte

Formalisme

C'est l'écoulement par gradient sur L^2 de la fonctionnelle d'énergie libre de Ginzburg-Landau. L'équation est étroitement liée à l'équation de Cahn-Hilliard.

L'équation décrit l'évolution temporelle d'une variable d'état scalaire ${\displaystyle \eta }$ dans un domaine ${\displaystyle \Omega }$ durant un intervalle de temps ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, et s'écrit[1],[2] :

${\displaystyle {{\partial \eta } \over {\partial t}}=M_{\eta }[\operatorname {div} (\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )-f'(\eta )]\ \ {\text{sur}}\ \ \Omega \times {\mathcal {T}},\quad \eta ={\bar {\eta }}\ \ {\text{sur}}\ \ \partial _{\eta }\Omega \times {\mathcal {T}},}$

${\displaystyle \quad -(\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )\cdot m=q\ \ {\text{sur}}\ \ \partial _{q}\Omega \times {\mathcal {T}},\quad \eta =\eta _{o}\ \ {\text{sur}}\ \ \Omega \times \{0\},}$

où ${\displaystyle M_{\eta }}$ est la mobilité, ${\displaystyle f}$ est un double puits de potentiel, ${\displaystyle {\bar {\eta }}}$ est le contrôle de la variable d'état à la portion de la frontière ${\displaystyle \partial _{\eta }\Omega }$, ${\displaystyle q}$ est le contrôle des sources à ${\displaystyle \partial _{q}\Omega }$, ${\displaystyle \eta _{o}}$ est la condition initiale, et ${\displaystyle m}$ est la normale extérieure à ${\displaystyle \partial \Omega }$.

Références

1. S. M. Allen et J. W. Cahn, « Ground State Structures in Ordered Binary Alloys with Second Neighbor Interactions », Acta Metall., vol. 20, n^o 3,‎ 1972, p. 423–433 (DOI 10.1016/0001-6160(72)90037-5)
2. S. M. Allen et J. W. Cahn, « A Correction to the Ground State of FCC Binary Ordered Alloys with First and Second Neighbor Pairwise Interactions », Scripta Metallurgica, vol. 7, n^o 12,‎ 1973, p. 1261–1264 (DOI 10.1016/0036-9748(73)90073-2)

Voir également

• (en) W. Craig Carter, « Allen-Cahn equation », sur National Bureau of Standards, 1997
• Allen et Cahn, « Coherent and Incoherent Equilibria in Iron-Rich Iron-Aluminum Alloys », Acta Metall., vol. 23, n^o 9,‎ 1975, p. 1017 (DOI 10.1016/0001-6160(75)90106-6)
• Allen et Cahn, « On Tricritical Points Resulting from the Intersection of Lines of Higher-Order Transitions with Spinodals », Scripta Metallurgica, vol. 10, n^o 5,‎ 1976, p. 451–454 (DOI 10.1016/0036-9748(76)90171-x)
• Allen et Cahn, « Mechanisms of Phase Transformation Within the Miscibility Gap of Fe-Rich Fe-Al Alloys », Acta Metall., vol. 24, n^o 5,‎ 1976, p. 425–437 (DOI 10.1016/0001-6160(76)90063-8)
• Cahn et Allen, « A Microscopic Theory of Domain Wall Motion and Its Experimental Verification in Fe-Al Alloy Domain Growth Kinetics », Journal de Physique, vol. 38,‎ 1977, C7–51
• Allen et Cahn, « A Microscopic Theory for Antiphase Boundary Motion and Its Application to Antiphase Domain Coarsening », Acta Metall., vol. 27, n^o 6,‎ 1979, p. 1085–1095 (DOI 10.1016/0001-6160(79)90196-2)
• Bronsard et Reitich, « On three-phase boundary motion and the singular limit of a vector valued Ginzburg–Landau equation », Arch. Rat. Mech. Anal., vol. 124, n^o 4,‎ 1993, p. 355–379 (DOI 10.1007/bf00375607, Bibcode 1993ArRMA.124..355B)