Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. En statistique , et en probabilités , l'écart moyen est une mesure de la dispersion autour de la moyenne[réf. nécessaire]
En statistique
Il se calcule ainsi :
dans le cas d'une série discrète non triée, écart moyen =
1
n
∑
i
=
1
n
|
x
i
−
x
¯
|
{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\bar {x}}|}
dans le cas d'une série discrète regroupée[ 1]
∑
i
=
1
n
n
i
|
x
i
−
x
¯
|
∑
i
=
1
n
n
i
=
∑
i
=
1
n
f
i
|
x
i
−
x
¯
|
{\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}n_{i}|x_{i}-{\bar {x}}|}{\sum _{i=1}^{n}n_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}f_{i}|x_{i}-{\bar {x}}|}
dans le cas d'une série continue , écart moyen =
∑
i
=
1
n
n
i
|
m
i
−
x
¯
|
∑
i
=
1
n
n
i
=
∑
i
=
1
n
f
i
|
m
i
−
x
¯
|
{\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}n_{i}|m_{i}-{\bar {x}}|}{\sum _{i=1}^{n}n_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}f_{i}|m_{i}-{\bar {x}}|}
Pour une variable aléatoire réelle
X
{\displaystyle X}
EM
(
X
)
=
E
(
|
X
−
E
(
X
)
|
)
{\displaystyle {\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} \left(|X-\mathbb {E} (X)|\right)}
On précise parfois écart moyen absolu [réf. nécessaire]
E
(
X
−
E
(
X
)
)
{\displaystyle \mathbb {E} \left(X-\mathbb {E} (X)\right)}
Exemples
Si
X
{\displaystyle X}
loi binomiale
B
(
2
n
,
1
/
2
)
{\displaystyle B(2n,1/2)}
EM
(
X
)
=
E
(
|
X
−
n
|
)
=
n
(
2
n
n
)
2
2
n
∼
n
π
{\displaystyle {\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} (|X-n|)=n{\frac {2n \choose n}{2^{2n}}}\sim {\sqrt {n \over \pi }}}
Si
X
{\displaystyle X}
loi normale
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}
EM
(
X
)
=
E
(
|
X
−
μ
|
)
=
2
π
σ
{\displaystyle {\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} (|X-\mu |)={\sqrt {2 \over \pi }}\sigma }
Si
X
{\displaystyle X}
loi géométrique de paramètre 1/2,
EM
(
X
)
=
E
(
|
X
−
2
|
)
=
1
{\displaystyle {\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} (|X-2|)=1}
L'écart moyen a une définition plus naturelle que l'écart-type
σ
(
X
)
=
E
(
(
X
−
E
(
X
)
)
2
)
{\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {\mathbb {E} \left(\left(X-\mathbb {E} (X)\right)^{2}\right)}}}
D'après l'inégalité de Jensen , l'écart moyen est inférieur ou égal à l'écart type.
Articles connexes
