Σ-álgebra

En matemáticas, una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra (léase "sigma-álgebra") sobre un conjunto ${\displaystyle \Omega }$ es una familia ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )}$ no vacía de subconjuntos de ${\displaystyle \Omega }$, cerrada bajo complementarios y uniones numerables. Las ${\displaystyle \sigma }$-álgebras se usan principalmente para definir medidas. Es un concepto muy importante en análisis matemático y teoría de la probabilidad.

Definición

${\displaystyle \sigma }$-álgebra Sea ${\displaystyle \Omega }$ un conjunto no vacío. Llamamos ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre ${\displaystyle \Omega }$ a una familia ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )}$ no vacía de subconjuntos de ${\displaystyle \Omega }$ que verifique: ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {A}}}$ (contiene al total). ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A^{c}=\Omega \setminus A\in {\mathcal {A}}}$ (cerrada bajo complementarios). ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {A}}\,\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {A}}}$ (cerrada bajo uniones numerables).

Al par ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ se le llama espacio medible o espacio probabilizable, en función del contexto.

A los elementos de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ se les llama conjuntos ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-medibles (o simplemente conjuntos medibles). En un contexto probabilístico, se les suele llamar sucesos.

Obsérvese que, al imponer que ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ sea no vacía, se puede suprimir la primera condición. Asimismo, se puede obtener otra definición equivalente suprimiendo la condición de que ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ sea no vacía.

Propiedades

Propiedades básicas de las ${\displaystyle \sigma }$-álgebras Sea ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre un conjunto ${\displaystyle \Omega }$. Se cumplen las siguientes propiedades: El conjunto vacío pertenece a la ${\displaystyle \sigma }$-álgebra: ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {A}}}$. La ${\displaystyle \sigma }$-álgebra es cerrada bajo uniones finitas: ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {A}}\quad \forall n\in \mathbb {N} }$. La ${\displaystyle \sigma }$-álgebra es cerrada bajo intersecciones numerables: ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {A}}\,\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow \bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {A}}}$. La ${\displaystyle \sigma }$-álgebra es cerrada bajo intersecciones finitas: ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {A}}\quad \forall n\in \mathbb {N} }$. La ${\displaystyle \sigma }$-álgebra es cerrada bajo diferencia de conjuntos: ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {A}}}$.

Cabe destacar otra propiedad importante relativa a las ${\displaystyle \sigma }$-álgebras:

Sea ${\displaystyle \{{\mathcal {A}}_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}$ una familia arbitraria de ${\displaystyle \sigma }$-álgebras sobre ${\displaystyle \Omega }$. Entonces, la intersección ${\displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda }{\mathcal {A}}_{\lambda }}$ es también una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre ${\displaystyle \Omega }$.

Por el contrario, la unión de ${\displaystyle \sigma }$-álgebras no es en general una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra.

Ejemplos

• Para cualquier conjunto ${\displaystyle \Omega }$, la familia ${\displaystyle \{\emptyset ,\Omega \}}$ es una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra (la menor ${\displaystyle \sigma }$-álgebra posible sobre ${\displaystyle \Omega }$). Esta ${\displaystyle \sigma }$-álgebra se denomina ${\displaystyle \sigma }$-álgebra trivial.
• Para cualquier conjunto ${\displaystyle \Omega }$, la familia ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ (conjunto potencia) es una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra (la mayor ${\displaystyle \sigma }$-álgebra posible sobre ${\displaystyle \Omega }$).
• Si ${\displaystyle \Omega =\{a,b,c,d\}}$, la familia ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{\emptyset ,\{a\},\{b,c,d\},\Omega \}}$ es una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra (la menor que contiene al conjunto ${\displaystyle \{a\}}$).
• Para cualquier conjunto ${\displaystyle \Omega }$, la familia ${\displaystyle \{A\in {\mathcal {P}}(\Omega ):A{\text{ o }}A^{c}{\text{ numerable}}\}}$ (subconjuntos numerables o de complementario numerable) es una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra. Esta familia es distinta del conjunto potencia de ${\displaystyle \Omega }$ si y sólo si ${\displaystyle \Omega }$ es no numerable.

σ-álgebra inducida

${\displaystyle \sigma }$-álgebra inducida Sea ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre un conjunto ${\displaystyle \Omega }$ y ${\displaystyle E\subseteq \Omega }$ no vacío. La familia ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{E}=\{A\cap E:A\in {\mathcal {A}}\}}$ es una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre ${\displaystyle E}$. Recibe el nombre de ${\displaystyle \sigma }$-álgebra inducida.

σ-álgebra generada por una familia de subconjuntos

${\displaystyle \sigma }$-álgebra generada por una familia de subconjuntos Sea ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )}$ una familia de subconjuntos de ${\displaystyle \Omega }$. Se define la ${\displaystyle \sigma }$-álgebra generada por ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, denotada por ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}$ o ${\displaystyle \langle {\mathcal {S}}\rangle }$, como la menor ${\displaystyle \sigma }$-álgebra (en el sentido de la inclusión) que contiene a ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$.

Se construye como intersección de todas las ${\displaystyle \sigma }$-álgebras que contienen a ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$.

Ejemplos

• Si ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(\Omega ):A\neq \emptyset ,A\neq \Omega }$, entonces ${\displaystyle \sigma \left(A\right)=\{\emptyset ,A,A^{c},\Omega \}}$. Concretamente, si ${\displaystyle \Omega =\{a,b,c,d\}}$, entonces tenemos el ejemplo antes visto: ${\displaystyle \sigma \left(\{a\}\right)=\{\emptyset ,\{a\},\{b,c,d\},\Omega \}}$.
• Sea ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{\{x\}:x\in \Omega \}}$. Entonces ${\displaystyle \sigma \left({\mathcal {S}}\right)=\{A\in {\mathcal {P}}(\Omega ):A{\text{ o }}A^{c}{\text{ numerable}}\}}$, otro ejemplo mencionado anteriormente.

σ-álgebra de Borel

${\displaystyle \sigma }$-álgebra de Borel Si ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ es un espacio topológico, la ${\displaystyle \sigma }$-álgebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\sigma \left({\mathcal {T}}\right)}$ se denomina ${\displaystyle \sigma }$-álgebra de Borel.

A sus elementos se les llama conjuntos de Borel o borelianos.

σ-álgebra producto

${\displaystyle \sigma }$-álgebra producto Sean ${\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1}),(\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})}$ dos espacios medibles. Se define la ${\displaystyle \sigma }$-álgebra producto sobre ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}}$ como: ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\times {\mathcal {A}}_{2}=\sigma \left(\{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in {\mathcal {A}}_{1},A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}\}\right)}$

Funciones medibles

Función medible Una función ${\displaystyle f:(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1})\to (\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})}$ entre dos espacios medibles se dice medible si la preimagen de cualquier conjunto ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$-medible es ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$-medible, esto es: ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}}_{2},\,f^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}_{1}}$.

Esta definición inspira la construcción de dos nuevas ${\displaystyle \sigma }$-álgebras:

σ-álgebra mínima

Sea ${\displaystyle \Omega _{1}}$ un conjunto, ${\displaystyle (\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})}$ un espacio medible y ${\displaystyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$ una aplicación. Entonces, la familia ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\{f^{-1}(A):A\in {\mathcal {A}}_{2}\}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega _{1})}$ es una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre ${\displaystyle \Omega _{1}}$.

Por construcción, esta es la mínima ${\displaystyle \sigma }$-álgebra (en el sentido de la inclusión) sobre ${\displaystyle \Omega _{1}}$ tal que la función ${\displaystyle f:(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1})\to (\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})}$ es medible.

σ-álgebra máxima

Sea ${\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1})}$ un espacio medible, ${\displaystyle \Omega _{2}}$ un conjunto y ${\displaystyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$ una aplicación. Entonces, la familia ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}=\{f(A):A\in {\mathcal {A}}_{1}\}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega _{2})}$ es una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre ${\displaystyle \Omega _{2}}$.

Por construcción, esta es la máxima ${\displaystyle \sigma }$-álgebra (en el sentido de la inclusión) sobre ${\displaystyle \Omega _{2}}$ tal que la función ${\displaystyle f:(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1})\to (\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})}$ es medible.

Véase también

• Álgebra de conjuntos
• Anillo de conjuntos

Bibliografía

• Robert G. Bartle (1995) [1966]. The Elements of Integration and Measure Theory. Wiley. ISBN 0471042226. 
• Medida e integración , Mauro Chumpitaz (1989) UNI- Lima.
• Teoría de la medida, Mauro Chumpitaz (1991) UNI- Lima.

• Datos: Q217357