Transformada de Gelfand

La transformada de Gelfand, llamada así en honor del matemático Israel Gelfand, es una aplicación sobre un álgebra de Banach conmutativo y unitario que da lugar a funciones continuas sobre el espectro del álgebra. Esta función es importante en análisis harmónico abstracto y la base de la Teoría de Gelfand.

Espectro de un álgebra de Banach

Dado un álgebra de Banach conmutativo y unitario ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, llamamos funcional multiplicativo en ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ a todo homomorfismo no nulo de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ a ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Al conjunto de todos los funcionales multiplicativos en ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ se le denomina espectro de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (${\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}})}$).

Definición

Para cada ${\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}$, definimos la función ${\displaystyle {\widehat {x}}:\sigma ({\mathcal {A}})\rightarrow \mathbb {C} }$ dada por ${\displaystyle {\widehat {x}}(h)=h(x)}$. Esta función es siempre en continua, ya que la topología en ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}})}$ es la topología de la convergencia puntual en ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

A la aplicación ${\displaystyle \Gamma :{\mathcal {A}}\rightarrow C(\sigma ({\mathcal {A}}))}$ que lleva ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle {\widehat {x}}}$ se le denomina transformada de Gelfand en ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Propiedades

1. La transformada de Gelfand es un homomorfismo y ${\displaystyle {\widehat {e}}}$ es la función constantemente ${\displaystyle 1}$ (donde ${\displaystyle e}$ es el elemento unitario del álgebra).
2. Un elemento del álgebra es invertible si y solo si su imagen a través de la transformada de Gelfand es una función que nunca se anula.
3. El rango de ${\displaystyle \Gamma (x)}$ coincide con el espectro de ${\displaystyle x}$.${\displaystyle \|{\widehat {x}}\|_{sup}\leq \|x\|}$.

Referencias

Folland, Gerald B. (1995). «Banach Algebras and Spectral Theory». A Course in Abstract Harmonic Analysis (en inglés). CRC Press. pp. 5-7.