Topología final

En topología general, la topología final en un conjunto ${\displaystyle X}$ con respecto a una familia de aplicaciones de espacios topológicos en ${\displaystyle X}$ es la topología más fina en ${\displaystyle X}$ que hace que todas esas aplicaciones sean continuas.

La noción dual es la topología inicial, que para una familia dada de aplicaciones de un conjunto ${\displaystyle X}$ en espacios topológicos es la topología menos fina en ${\displaystyle X}$ que hace que esas aplicaciones sean continuas.

Definición

Topología final Sea ${\displaystyle X}$ un conjunto no vacío, ${\displaystyle \{\left(Y_{i},{\mathcal {T}}_{i}\right)\}_{i\in I}}$ una familia arbitraria de espacios topológicos y ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:Y_{i}\to X\,:i\in I\}}$ una familia de aplicaciones. Se define la topología final en ${\displaystyle X}$ inducida por la familia de aplicaciones ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ como: ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\mathcal {F}}=\{U\subseteq X:f_{i}^{-1}(U)\in {\mathcal {T}}_{i}\quad \forall i\in I\}}$

Por construcción, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\mathcal {F}}}$ es la topología más fina en ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle f_{i}:(Y_{i},{\mathcal {T}}_{i})\to (X,{\mathcal {T}}_{\mathcal {F}})}$ es continua para todo ${\displaystyle i\in I}$ .

Los cerrados de ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\mathcal {F}}}$ tienen una caracterización análoga: un subconjunto ${\displaystyle C\subseteq X}$ es cerrado de la topología final ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\mathcal {F}}}$ si y solo si ${\displaystyle f_{i}^{-1}(C)\subseteq Y_{i}}$ es cerrado de ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{i}}$ para cada ${\displaystyle i\in I}$ .

Ejemplos

• La topología cociente es la topología final con respecto a la proyección canónica.

Referencias

• Brown, Ronald (June 2006). Topology and Groupoids. North Charleston: CreateSpace. ISBN 1-4196-2722-8. 
• Willard, Stephen (1970). General Topology. Addison-Wesley Series in Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 9780201087079. 

• Datos: Q1416138