En matemáticas, un subgrupo normal o subgrupo distinguido de un grupo es un subgrupo invariante por conjugación; es decir, para cada elemento y cada , el elemento está en . Se denota .
Definición
Definiciones equivalentes
Demostración
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1.2.
Como , entonces . Por tanto, .
2.3.
Es claro.
3.4.
Sea . Entonces, . Por tanto, y se tiene la igualdad.
4.1.
Sea y .
.
Además, se tiene que .
Por tanto, .
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Propiedades
- y son siempre subgrupos normales de . Si éstos son los únicos subgrupos normales de , se dice que es simple.
- Los subgrupos normales de cualquier grupo forman un retículo bajo inclusión. Los elementos mínimo y máximo son y , el ínfimo de dos subgrupos es su intersección y su supremo es su yuxtapuesto.
- Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales.
- Si es de índice 2 () entonces es normal en .
- El centro de un grupo es normal en el grupo.
Grupo cociente
Sea un grupo y . Como los conjuntos de clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden lo llamaremos simplemente conjunto de clases laterales de en , y lo denotaremos .
Podemos definir en la operación (esta operación está bien definida, ya que su definición no depende de los representantes elegidos en las clases a multiplicar).
- La proyección canónica es un homomorfismo de grupos.
Grupos normales y homomorfismos
- Sean y grupos y sea un homomorfismo de grupos. Entonces el núcleo de es normal en : . De hecho, un subgrupo es normal si y sólo si existe un homomorfismo de grupos tal que .
Referencias
Véase también