En el conjunto de los números reales existe un subconjunto propio, provisto de dos leyes de composición interna y una relación de orden. Se les llama el conjunto de los reales naturales, es isomorfo al sistema de los naturales ℕ, este dotado de dos operaciones: adición y multiplicación y una relación de orden[1]
Definición
Existe un subconjunto propio N de los reales[2] tal que:
i) 0 está en N y si n está en N, lo está también n + 1. En este caso es un conjunto inductivo[3]
ii) Sea S un subconjunto de N que satisface j) 0 está en S, jj) s+1 está en S, siempre que s es miembro de S, entonces
- S = N ( Principio de inducción matemática).
- Entero real
z es entero real si z es natural o el opuesto de real natural[4]
Potencias naturales de los reales
Sea a cualquier número real se define por inducción la potencia natural de n[5]
- a0 = 1
- an = an-1a
- si n es negativo y a ≠ 0 entonces an = 1/a-n
Propiedades
- a-n = 1/an, en donde a ≠ 0[7]
- Cero se considera real natura
- Para usar en aplicación del principio de inducción matemática
- Para escribir los naturales en cualquier base de un sistema de numeración, que reclama el 0.
- Para definir la potencia cero de un número, inductivamente como lo hace 'todo el mundo'
- Para denotar el término inicial de una sucesión en muchos casos.
- Para enumerar las raíces enésimas complejas de la unidad desde 0 hasta n-1.
- El cero se identifica con ∅ y con la clase de los conjuntos que no tienen elementos.[8]
Referencias
- ↑ Castro Puche: Álgebra moderna e introducción al álgebra geométrica ISBN 978-958-648-850-1
- ↑ Kong: Cálculo diferencial
- ↑ Bush-Obreanu: Introducción a matemática superior
- ↑ Posniak y otro: Fundamentos de Análisi matemático
- ↑ En esta definición cabe cero a la cero = 1
- ↑ Nikolski: Análisis matemático
- ↑ Se considera a ≠ 0 para evitar la división por 0
- ↑ Paul Halmos, además Bertrand Russell
