Secuencia de Göbel

En matemáticas, una secuencia de Göbel es una secuencia de números racionales definida por la relación de recurrencia:

${\displaystyle x_{n}={\frac {x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}}{n-1}},\!\,}$

con valor inicial:

${\displaystyle x_{0}=x_{1}=1.}$

La secuencia de Göbel comienza con:

1, 1, 2, 3, 5, 10, 28, 154, 3520, 1551880, ...

El primer valor no entero es x₄₃. [1]​

Historia

Esta secuencia fue desarrollada por el matemático alemán Fritz Göbel en los años 1970. [2]​ En 1975, el matemático holandés Hendrik Lenstra demostró que el término 43 no es un número entero. [2]​

Generalización

La secuencia de Göbel se puede generalizar a k-ésimas potencias mediante:

${\displaystyle x_{n}={\frac {x_{0}^{k}+x_{1}^{k}+\cdots +x_{n-1}^{k}}{n}}.}$

Los índices mínimos en los que las secuencias de k-Göbel asumen un valor no integral son:

43, 89, 97, 214, 19, 239, 37, 79, 83, 239, ...

Independientemente del valor elegido para k, los 19 términos iniciales son siempre números enteros. [2]​[3]​

Véase también

• Secuencias de Somos

Referencias

1. Guy, Richard K. (1981). Unsolved Problems in Number Theory. Springer New York. p. 120. ISBN 978-1-4757-1740-2. 
2. Stone, Alex (2023). «The Astonishing Behavior of Recursive Sequences». Quanta Magazine (en inglés). Consultado el 17 de noviembre de 2023. 
3. Matsuhira, Rinnosuke; Matsusaka, Toshiki; Tsuchida, Koki (2023). How long can $k$-Göbel sequences remain integers?. doi:10.48550/ARXIV.2307.09741. Consultado el 18 de abril de 2024. 

Enlaces externos

• Secuencia de Göbel

• Datos: Q25110904