Problema de Brocard

Problemas no resueltos de la matemática: ¿Tiene ${\displaystyle n!+1=m^{2}}$ soluciones con números naturales diferentes de ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 5}$ y ${\displaystyle 7}$?

El problema de Brocard es una cuestión abierta de las matemáticas que consiste en encontrar valores naturales de ${\displaystyle n}$ y de ${\displaystyle m}$ tales que:

$${\displaystyle n!+1=m^{2}}$$

donde ${\displaystyle n!}$ es el factorial de ${\displaystyle n}$. Fue tratado por Henri Brocard en un par de artículos en 1876 y 1885,[1]​[2]​ e independientemente en 1913 por Srinivasa Ramanujan.[3]​

Números de Brown

Las parejas de números (${\displaystyle n}$, ${\displaystyle m}$) que son soluciones del problema de Brocard se llaman números de Brown, llamados así por Clifford Pickover en su libro "Keys to Infinity" (Llaves hasta el infinito), de 1995, mencionando el problema planteado por Kevin S. Brown.[4]​ Actualmente solo se conocen tres pares de números de Brown: (4, 5), (5, 11) y (7, 71), basado en las igualdades:

4! + 1 = 5² = 25

5! + 1 = 11² = 121

7! + 1 = 71² = 5041

Paul Erdős conjeturó que no existen otras soluciones. Las búsquedas por ordenador hasta mil billones no han encontrado otras soluciones.[5]​[6]​[7]​

Conexión con la conjetura abc

Se deduciría de la conjetura abc que solo hay un número finito de números de Brown. [8]​ De manera más general, también se seguiría de la conjetura abc que

${\displaystyle n!+A=k^{2}}$

tiene solo un número finito de soluciones, para cualquier número entero ${\displaystyle A}$,[9]​ y que

${\displaystyle n!=P(x)}$

tiene solo un número finito de soluciones enteras, para cualquier polinomio ${\displaystyle P(x)}$ dado de grado al menos 2 con coeficientes enteros. [10]​

Referencias

1. Brocard, H. (1876), «Question 166», Nouv. Corres. Math. 2: 287 .
2. Brocard, H. (1885), «Question 1532», Nouv. Ann. Math. 4: 391 .
3. Ramanujan, Srinivasa (2000), «Question 469», en Hardy, G. H.; Aiyar, P. V. Seshu; Wilson, B. M., eds., Collected papers of Srinivasa Ramanujan, Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, p. 327, ISBN 0-8218-2076-1, MR 2280843 .
4. Pickover, Clifford A. (1995), Keys to Infinity, John Wiley & Sons, p. 170 .
5. Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), «On the Brocard–Ramanujan Diophantine equation n! + 1 = m^2», Ramanujan Journal 4 (1): 41-42, MR 1754629, S2CID 119711158, doi:10.1023/A:1009873805276 .
6. Matson, Robert (2017), «Brocard's Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues», Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography, archivado desde el original el 6 de octubre de 2018, consultado el 7 de mayo de 2017 .
7. Epstein, Andrew; Glickman, Jacob (2020), C++ Brocard GitHub Repository .
8. Overholt, Marius (1993), «The Diophantine equation n! + 1 = m^2», The Bulletin of the London Mathematical Society 25 (2): 104, MR 1204060, doi:10.1112/blms/25.2.104 .
9. Dąbrowski, Andrzej (1996), «On the Diophantine equation x! + A = y^2», Nieuw Archief voor Wiskunde 14 (3): 321-324, MR 1430045 .
10. Luca, Florian (2002), «The Diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt», Glasnik Matematički, 37(57) (2): 269-273, MR 1951531 .

Lecturas relacionadas

• Guy, R. K. (2004), «D25: Equations involving factorial ${\displaystyle n}$», Unsolved Problems in Number Theory (3rd edición), New York: Springer-Verlag, pp. 301-302 .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Brocard's Problem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Copeland, Ed, «Brown Numbers», Numberphile (Brady Haran), archivado desde el original el 9 de noviembre de 2014, consultado el 6 de abril de 2013 .

• Datos: Q1052622