Polinomio mínimo

En matemáticas, el polinomio mínimo de un elemento α es el polinomio mónico p de menor grado tal que p(α)=0. Las propiedades del polinomio no dependen de la estructura algebraica a la cual pertenece α.

Teoría de cuerpos

En teoría de cuerpos, dada una extensión de cuerpo E/F y un elemento α de E que sea algebraico sobre F, el polinomio mínimo de α es el polinomio mónico p, con coeficientes en F, de menor grado tal que p(α) = 0. El polinomio mínimo es irreducible, y cualquier otro polinomio no nulo f que cumpla f(α) = 0 es un múltiplo de p.

Álgebra lineal

En álgebra lineal, el polinomio mínimo de un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo es el único polinomio mónico de grado mínimo que anula a , es decir, tal que . Por extensión, dada una matriz , definimos el polinomio mínimo de como el polinomio mínimo del endomorfismo que define la matriz en un espacio vectorial de dimensión (en cualquier base, pues el polinomio mínimo no depende de la elección de esta).

Cualquier otro polinomio con es un múltiplo de . Veamos la demostración de esto último, juntamente con que el polinomio mínimo es único:

Observamos en primer lugar que seguro que existen polinomios anuladores. Como es un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita , podemos considerar una base del espacio y la matriz , la matriz de en base .

Como , el conjunto de matrices , de cardinal , es necesariamente linealmente dependiente, es decir,

tales que anulador de

anulador de .

Esto último por ser la matriz de en base .

Por tanto, existen polinomios anuladores y podemos tomar, pues, uno que sea de grado mínimo. Si lo dividimos por el coeficiente del término de grado máximo, sigue siendo anulador y ahora también es mónico. Este polinomio, al que denotaremos por , es nuestro candidato a polinomio mínimo.

Sea pues un polinomio anulador de . Queremos ver que divide a . Hacemos la división entera de entre :

, con o

Si aplicamos la igualdad a , obtenemos que

,

pero como y son anuladores de por definición,

es anulador de .

Pero, por definición, es el polinomio anulador de grado mínimo, luego , de forma que, por , necesariamente divide a .

Para ver la unicidad, supongamos que hubiera dos polinomios y mónicos de grado mínimo tales que fueran anuladores de Por lo anterior, uno tiene que dividir al otro. Podemos suponer que divide a . Pero como son mónicos y tienen el mismo grado, necesariamente .

Los siguientes tres enunciados son equivalentes:

  1. es una raíz de ,
  2. es una raíz del polinomio característico de ,
  3. es un valor propio de .

La multiplicidad de la raíz de es el tamaño del mayor bloque de Jordan correspondiente a .

El polinomio mínimo no es siempre el mismo que el polinomio característico. Consideremos la matriz , que tiene como polinomio característico . Sin embargo, el polinomio mínimo es , ya que , por lo que son distintos para . El hecho que el polinomio mínimo siempre divida el polinomio característico es consecuencia del teorema de Cayley–Hamilton.

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