Polinomio mínimoEn matemáticas, el polinomio mínimo de un elemento α es el polinomio mónico p de menor grado tal que p(α)=0. Las propiedades del polinomio no dependen de la estructura algebraica a la cual pertenece α. Teoría de cuerposEn teoría de cuerpos, dada una extensión de cuerpo E/F y un elemento α de E que sea algebraico sobre F, el polinomio mínimo de α es el polinomio mónico p, con coeficientes en F, de menor grado tal que p(α) = 0. El polinomio mínimo es irreducible, y cualquier otro polinomio no nulo f que cumpla f(α) = 0 es un múltiplo de p. Álgebra linealEn álgebra lineal, el polinomio mínimo de un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo es el único polinomio mónico de grado mínimo que anula a , es decir, tal que . Por extensión, dada una matriz , definimos el polinomio mínimo de como el polinomio mínimo del endomorfismo que define la matriz en un espacio vectorial de dimensión (en cualquier base, pues el polinomio mínimo no depende de la elección de esta). Cualquier otro polinomio con es un múltiplo de . Veamos la demostración de esto último, juntamente con que el polinomio mínimo es único:
Los siguientes tres enunciados son equivalentes:
La multiplicidad de la raíz de es el tamaño del mayor bloque de Jordan correspondiente a . El polinomio mínimo no es siempre el mismo que el polinomio característico. Consideremos la matriz , que tiene como polinomio característico . Sin embargo, el polinomio mínimo es , ya que , por lo que son distintos para . El hecho que el polinomio mínimo siempre divida el polinomio característico es consecuencia del teorema de Cayley–Hamilton. Enlaces externos
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