Notación de slash

En el estudio de campos fermiónicos en teoría cuántica de campo, Richard Feynman inventó la notación de slash. Si A es un vector covariante (es decir, una 1-forma),

${\displaystyle A\!\!\!/\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \gamma ^{\mu }A_{\mu }}$

donde hemos usado el convenio de suma de Einstein y ${\displaystyle \gamma }$ son las matrices gamma.

Identidades

Usando las reglas de anticonmutación de las matrices gamma, se puede mostrar que, para cualquier ${\displaystyle a_{\mu }}$ y ${\displaystyle b_{\mu }}$, se verifica que

${\displaystyle a\!\!\!/a\!\!\!/=a^{\mu }a_{\mu }=a^{2}}$

${\displaystyle a\!\!\!/b\!\!\!/+b\!\!\!/a\!\!\!/=2a\cdot b\,}$.

${\displaystyle a\!\!\!/^{+}=\gamma ^{0}a\!\!\!/\gamma ^{0}}$

En particular,

${\displaystyle \partial \!\!\!/^{2}=\partial ^{2}.}$

Se pueden obtener diferentes identidades a partir de las distintas identidades de las matrices gamma al reemplazar el tensor métrico por productos interiores (o producto escalar). Por ejemplo,

${\displaystyle \operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/)=4a\cdot b}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma _{5}a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4i\epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\lambda }d^{\sigma }}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }a\!\!\!/\gamma ^{\mu }=-2a\!\!\!/}$.

${\displaystyle \gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/\gamma ^{\mu }=4a\cdot b\,}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/\gamma ^{\mu }=-2c\!\!\!/b\!\!\!/a\!\!\!/\,}$

donde ${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }}$ es el símbolo de Levi-Civita.

Cuadrimomento

A menudo, cuando se trabaja con la ecuación de Dirac, se usa la notación de slash para el cuadrimomento:

Utilizando la base de Dirac para las matrices ${\displaystyle \gamma \,}$,

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}}\,}$

así como la definición del cuadrimomento

${\displaystyle p_{\mu }=\left(E,-p_{x},-p_{y},-p_{z}\right)\,}$

se ve explícitamente que

${\displaystyle {\begin{aligned}p\!\!/&=\gamma ^{\mu }p_{\mu }=\gamma ^{0}p_{0}+\gamma ^{i}p_{i}\\&={\begin{bmatrix}p_{0}&0\\0&-p_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{i}p_{i}\\-\sigma ^{i}p_{i}&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}E&-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}&-E\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Se obtienen resultados similares en otras bases, como en la base de Weyl.

Véase también

• Base de Weyl
• Matrices Gamma

Referencias

• Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2. 

• Datos: Q2305761