Número de Thabit

Primo de Thabit
Nombrado por	Thábit ibn Qurra
No. conjeturado de términos	Infinito
Subsecuencia de	Números de Thabit
Primeros términos	2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431
índice OEIS	A007505

En teoría de números un número de Thabit, número de Thábit ibn Qurra o número 321 es un número entero de la forma ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$, siendo n un número entero no negativo. Se reconoce al matemático del siglo IX Thábit ibn Qurra como el primero en estudiar estos números y su relación con los números amigos.

Definición

Un número de Thabit está descrito por la fórmula:

${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$,

donde n es un número entero no negativo ${\displaystyle (n=0,1,\dots )}$.

Los primeros veinte números de Thabit son:[1]​

2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1.535, 3.071, 6.143, 12.287, 24.575, 49.151, 98.303, 196.607, 393.215, 786.431, y 1.572.863.

Los números de Thabit representados en forma binaria tienen una longitud de ${\displaystyle n+2}$ dígitos y consisten de un «10» seguido por n unos. Por ejemplo, para el número 23, ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle 23=3\cdot 2^{3}-1}$,

y en modo binario:

${\displaystyle 23=10111_{2}}$,

es decir, un 10 seguido de tres unos.

Los primeros diez números de Thabit que además son números primos son:[1]​

2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6.143, 786.431 y 51.539.607.551.

Para abril de 2008, los valores conocidos de n con los cuales se obtiene un número de Thabit primos son:[2]​

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1.274, 3.276, 4.204, 5.134, 7.559, 12.676, 14.898, 18.123, 18.819, 25.690, 26.459, 41.628, 51.387, 71.783, 80.330, 85.687, 88.171, 97.063, 123.630, 155.930, 164.987, 234.760, 414.840, 584.995, 702.038, 727.699, 992.700, 1.201.046, 1.232.255, 2.312.734, 3.136.255 y 4.235.414.

Los primos para ${\displaystyle n\geq 234.760}$ fueron encontrados por el proyecto de computación distribuida 321 search.[3]​ El mayor de éstos, ${\displaystyle 3\cdot 2^{4.235.414}-1}$, tiene 1.274.988 dígitos y fue encontrado por Dylan Bennet en abril de 2008. El récord anterior era ${\displaystyle 3\cdot 2^{3.136.255}-1}$, encontrado por Paul Underwood en marzo de 2007.

Propiedades

La representación binaria del número de Thabit 3·2^n-1 tiene una longitud de n+2 dígitos, que consta de "10" seguido de n veces la cifra "1".

A continuación figuran los primeros números de Thabit que son primos (Primos de Thabit o 321 primos):

2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, ... (sucesión A007505 en OEIS)

A enero de 2022, hay 65 números primos de Thabit conocidos. Sus valores n son:[4]​[5]​[6]​[7]​

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470 , 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, 16819291, 17748034, 18196595, ...(sucesión A002235 en OEIS)

Los primos para 234760 = n = 3136255 fueron encontrados por el proyecto de computación distribuida 321 search.[8]​

En 2008, PrimeGrid se hizo cargo de la búsqueda de números primos de Thabit.[9]​ Se siguen buscando y ya se hna encontrado todos los primos de Thabit hasta n = 4235414.[10]​ También busca primos de la forma 3·2^n+1, que se denominan Primos de Thabit de segunda clase o 321 primos de segunda especie.

Los primeros números de Thabit del segundo tipo son:

4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, ... (sucesión A181565 en OEIS)

Los primeros números primos de Thabit del segundo tipo son:

7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, ... (sucesión A039687 en OEIS)

Sus valores n son:

1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909 , 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, . .. (sucesión A002253 en OEIS)

Conexión con los números amigos

Cuando n y n-1 producen primos de Thabit (del primer tipo), y ${\displaystyle 9\cdot 2^{2n-1}-1}$ también es primo, se puede calcular un par de números amigos de la siguiente manera:

${\displaystyle 2^{n}(3\cdot 2^{n-1}-1)(3\cdot 2^{n}-1)}$ y ${\displaystyle 2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1).}$

Por ejemplo, n = 2 da el primo de Thabit 11, y n-1 = 1 da el primo de Thabit 5, de forma que el tercer término es 71. Entonces, 2^2=4, multiplicado por 5 y 11 da como resultado 220, cuyos divisores suman 284, y 4 por 71 es 284, cuyos divisores suman 220.

Los únicos n conocidos que satisfacen estas condiciones son 2, 4 y 7, correspondientes a los primos de Thabit 11, 47 y 383 dados por n, los primos de Thabit 5, 23 y 191 dados por n-1, y los terceros términos son 71, 1151 y 73727 (los pares de números amigos correspondientes son (220, 284), (17296, 18416) y (9363584, 9437056))

Generalización

Para un entero b ≥ 2, una base numérica de Thabit b es un número de la forma (b+1)·b^n - 1 para un entero no negativo n. Además, para un entero b ≥ 2, un número habitual de segundo tipo en base b es un número de la forma (b+1)·b ^n + 1 para un entero no negativo n.

Los números de Williams también son una generalización de los números de Thabit. Para un entero b ≥ 2, una base numérica de Williams b es un número de la forma (b-1)·b^n - 1 para un entero no negativo n.[11]​ Además, para el entero b ≥ 2, un número de Williams de segunda especie de base b es un número de la forma (b-1)·b^n + 1 para un entero no negativo n.

Para un entero b ≥ 2, una base de Thabit prima b es una base numérica de Thabit b que también es prima. De manera similar, para el entero b ≥ 2, una base prima de Williams b es una base numérica de Williams b que también es prima.

Todo primo p es un primo de Thabit de primer tipo base p, un primo de Williams de primer tipo base p+2 y un primo de Williams de segundo tipo base p; si p ≥ 5, entonces p es también un primo de Thabit de segunda especie base p-2.

Es una conjetura que por cada entero b ≥ 2, hay infinitos primos de Thabit de primer tipo base b, infinitos primos de Williams de primer tipo base b e infinitos primos de Williams de segunda especie base b. Además, por cada entero b ≥ 2 que no es congruente a 1 módulo 3, hay infinitos primos de Thabit de segunda especie base b. Si la base b es congruente con 1 módulo 3, entonces todos los números de Thabit de base b de segundo tipo son divisibles por 3 (y mayores que 3, ya que b ≥ 2), por lo que no hay primos de Thabit de segundo tipo base b.

El exponente de los primos de Thabit de segunda clase no puede ser congruente con 1 mod 3 (excepto el propio 1), el exponente de los primos de Williams de primera clase no puede ser congruente con 4 mod 6 y el exponente de los primos de Williams de segunda clase no puede ser congruente con 1 mod 6 (excepto el propio 1), ya que el polinomio correspondiente a b es un polinomio irreducible. Si n = 1 mod 3, entonces (b+1)·b^n + 1 es divisible por b^2 + b + 1; si n = 4 módulo 6, entonces (b-1)·b^n - 1 es divisible por b^2 - b + 1; y si n = 1 mod 6, entonces (b-1)·b^n + 1 es divisible por b^2 - b + 1. En caso contrario , el polinomio correspondiente a b es un polinomio irreducible, por lo que si la conjetura de Buniakovski es verdadera, entonces hay infinitas bases b tales que el número correspondiente (para el exponente fijo n que satisface la condición) es primo. ((b+1)·b^n - 1 es irreducible para todo entero no negativo n, por lo que si la conjetura de Bunyakovsky es verdadera, entonces hay infinitas bases b tales que el número correspondiente (para el exponente fijo n) es primo.

b	Números n tales que (b+1)·b^n − 1 es primo (Primos de Thabit de primera especie base b)	Números n tales que (b+1)·b^n + 1 es primo (Primos de Thabit de segunda especie base b)	Números n tales que (b−1)·b^n − 1 es primo (Primos de Williams de primera especie base b)	Números n tales que (b−1)·b^n + 1 es primo (Primos de Williams de segunda especie base b)
2	(sucesión A002235 en OEIS)	(sucesión A002253 en OEIS)	(sucesión A000043 en OEIS)	0, 1, 2, 4, 8, 16, ... (véase número de Fermat)
3	(sucesión A005540 en OEIS)	(sucesión A005537 en OEIS)	(sucesión A003307 en OEIS)	(sucesión A003306 en OEIS)
4	1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 16, 24, 27, 36, 74, 92, 124, 135, 137, 210, ...	(ninguno)	(sucesión A272057 en OEIS)	1, 3, 4, 6, 9, 15, 18, 33, 138, 204, 219, 267, ...
5	(sucesión A257790 en OEIS)	(sucesión A143279 en OEIS)	(sucesión A046865 en OEIS)	(sucesión A204322 en OEIS)
6	1, 2, 3, 13, 21, 28, 30, 32, 36, 48, 52, 76, ...	1, 6, 17, 38, 50, 80, 207, 236, 264, ...	(sucesión A079906 en OEIS)	(sucesión A247260 en OEIS)
7	0, 4, 7, 10, 14, 23, 59, ...	(ninguno)	(sucesión A046866 en OEIS)	(sucesión A245241 en OEIS)
8	1, 5, 7, 21, 33, 53, 103, ...	1, 2, 11, 14, 21, 27, 54, 122, 221, ...	(sucesión A268061 en OEIS)	(sucesión A269544 en OEIS)
9	1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 19, 27, 29, 35, 42, 51, 70, 112, 164, 179, 180, 242, ...	0, 2, 6, 9, 11, 51, 56, 81, ...	(sucesión A268356 en OEIS)	(sucesión A056799 en OEIS)
10	(sucesión A111391 en OEIS)	(ninguno)	(sucesión A056725 en OEIS)	(sucesión A056797 en OEIS)
11	0, 1, 2, 3, 4, 11, 13, 22, 27, 48, 51, 103, 147, 280, ...	0, 2, 3, 6, 8, 138, 149, 222, ...	(sucesión A046867 en OEIS)	(sucesión A057462 en OEIS)
12	2, 6, 11, 66, 196, ...	1, 2, 8, 9, 17, 26, 62, 86, 152, ...	(sucesión A079907 en OEIS)	(sucesión A251259 en OEIS)

Menores k ≥ 1 tales que (n+1)·n^k - 1 es primo son: (empezando con n = 2)

1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 2, 1 , 2, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 8, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5 , 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 5, 2, 1483, 1, 1, 1, 24, 1, 2, 1, 2, 6, 3, 3, 36, 1 , 10, 8, 3, 7, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 7, 1704, 1, 3, 9, 4, 1, 1, 2, 1, 2, 24, 25, 1, . ..

Menores k ≥ 1 tales que (n+1)·n^k + 1 es primo son: (empezar con n = 2, o con 0 si tal k no existe)

1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 9, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 2 , 1, 0, 5, 2, 0, 5, 1, 0, 2, 3, 0, 1, 3, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 6, 0, 1, 183 , 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 21, 0, 1, 185, 0, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 120, 0, 2, 1, 0 , 1, 1, 0, 1, 8, 0, 5, 9, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 0, 9, 14, 0, 3, 1, 0, . ..

Menores k ≥ 1 tales que (n-1)·n^k - 1 es primo son: (empezar con n = 2)

2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133 , 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 136211, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1 , 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7 , 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2, . ..

Menores k ≥ 1 tales que (n-1)·n^k + 1 es primo son: (empezar con n = 2)

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2 , 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1 , 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1 , 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1, . ..

Los números de Pierpont ${\displaystyle 3^{m}\cdot 2^{n}+1}$ son una generalización de los números de Thabit del segundo tipo ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}+1}$.

Véase también

• Regla de Thabit ibn Qurrá

Referencias

1. Obtenidos a través de la secuencia A055010, On-line Encyclopedia of Integer Sequences, Henry Bottomley (2000)
2. Caldwell, Chris. «The Largest Known Primes!: 3 . 2^24235414 - 1» (en inglés). The Prime Pages. Universidad de Tennessee. http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=84769. Consultado el 16 de agosto de 2010 .
3. 321 Search (2006), status of the search.html «The status of the search». Consultado el 16 de agosto de 2010 (en inglés).
4. «Copia archivada». Archivado desde el original el 27 de septiembre de 2011. Consultado el 18 de septiembre de 2022. 
5. «PrimePage Primes: 3 · 2^4235414 - 1». 
6. Primes utm edu primes lists (marzo de 2022)
7. PrimeGrid Primes search for 3*2^n - 1.
8. «Copia archivada». Archivado desde el original el 27 de septiembre de 2011. Consultado el 18 de septiembre de 2022. 
9. «PrimePage Bios: 321search». 
10. primes.utm.edu (marzo de 2022)
11. List of Williams primes (of the first kind) base 3 to 2049 (for exponent ≥ 1)

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Thâbit ibn Kurrah Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Thâbit ibn Kurrah Prime». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Chris Caldwell, La base de datos de números primos más grande conocida en The Prime Pages
• Un Thabit primo de primera especie base 2: (2+1)·2^11895718 - 1
• Un Thabit primo de segunda especie base 2: (2+1)·2^10829346 + 1
• Una prima de Williams de primer tipo base 2: (2-1)·2^74207281 - 1
• Una prima de Williams de primer tipo base 3: (3-1)·3^1360104 - 1
• Una prima de Williams de segunda especie en base 3: (3-1)·3^1175232 + 1
• Una prima de Williams de primera especie en base 10: (10-1)·10^383643 - 1
• Una prima de Williams de primer tipo base 113: (113-1)·113^286643 - 1
• Lista de números primos de Williams
• PrimeGrid’s 321 Prime Search, sobre el descubrimiento del Thabit primo de primera especie base 2: (2+1)·2^6090515 - 1

• Datos: Q965294