Identidad de Lagrange

En matemática, la identidad de Lagrange es una identidad relacionada con la factorización de productos y sumas de cuadrados. En su forma más simple establece:

Para cualesquiera números ${\displaystyle a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}}$ se cumple: ${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}}$

La forma anterior puede generalizarse a un número arbitrario de variables.

Si ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ y ${\displaystyle b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}}$ son números (reales o complejos) entonces ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}}$

En anillos conmutativos

La forma más directa de demostrar la identidad de Lagrange es hacer uso de desarrollos algebraicos demostrando la validez de la identidad no solo para números reales o complejos sino para elementos de cualquier anillo conmutativo.

Prueba mediante desarrollo algebraico

Primero hacemos uso de la fórmula para desarrollar una suma elevada al cuadrado: ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}2x_{i}x_{j}}$ sustituyendo ${\displaystyle x_{k}}$ por ${\displaystyle a_{k}b_{k}}$: ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}}$ Por otro lado, del binomio al cuadrado ${\displaystyle (a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=a_{i}^{2}b_{j}^{2}-2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}}$ podemos despejar ${\displaystyle 2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}=a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}-(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}}$ y sustituyendo en la suma previa resulta en ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2})-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}}$ Pero ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2})}$ es la suma de todos los términos de la forma ${\displaystyle a^{2}b^{2}}$ para cualquier par de subíndices y por tanto se puede factorizar como ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2})=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)}$ Haciendo la sustitución arroja finalmente ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}}$ equivalente a la identidad que queremos demostrar.

Interpretación vectorial

Si consideramos los números ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ y ${\displaystyle b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}}$ como componentes de vectores en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\qquad \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}$,

entonces la identidad de Lagrange puede reescribirse en términos de las normas de los vectores y el producto escalar, pues

${\displaystyle \Vert \mathbf {a} \Vert ^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right),\qquad \Vert \mathbf {b} \Vert ^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)}$

y

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}}$

de manera que la identidad de Lagrange se convierte en:

Si ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}$ son dos vectores de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, entonces ${\displaystyle \Vert \mathbf {a} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {b} \Vert ^{2}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}}$

Sin embargo, cuando ${\displaystyle n=3}$, la última suma corresponde al cuadrado de la norma del producto vectorial de los vectores y en dicho caso la identidad de Lagrange se expresa como:

Si ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})}$ son dos vectores de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, entonces ${\displaystyle \Vert \mathbf {a} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {b} \Vert ^{2}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}+|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}}$

Bibliografía

• Savchev, Svetoslav; Andreescu, Titu (2003). Mathematical miniatures. Anneli Lax New Mathematical Library (en inglés) 43. The Mathematical Association of America. ISBN 088385645X. 
• Weisstein, Eric W. «Lagrange's Identity». Mathworld (en inglés). Consultado el 8 de mayo de 2012. 

• Datos: Q1206853