I de Moran

Los cuadrados blancos y negros están perfectamente dispersos, por lo que el I de Moran sería -1. Si los cuadrados blancos se apilan a la mitad del tablero y los cuadrados negros al otro, el I de Moran estaría cerca de +1. Una disposición aleatoria de colores cuadrados daría a I de Moran un valor que es cercano a 0.

En estadística, la I de Moran es una medida de autocorrelación espacial desarrollada por Patrick Alfred Pierce Moran.[1]​[2]​ La autocorrelación espacial se caracteriza por la correlación de una señal entre otras regiones en el espacio. La autocorrelación espacial es más compleja que una dimensión de autocorrelación debido a que la correlación espacial es multi-dimensionales (es decir, 2 o 3 dimensiones del espacio) y multi-direccional.

Definición

La I de Moran se define:

${\displaystyle I={\frac {N}{\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}}}{\frac {\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}(X_{i}-{\bar {X}})(X_{j}-{\bar {X}})}{\sum _{i}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}}$

donde ${\displaystyle N}$ es el número de unidades espaciales indexados por ${\displaystyle i}$ y ${\displaystyle j}$; ${\displaystyle X}$ es la variable de interés; ${\displaystyle {\bar {X}}}$ es la media de ${\displaystyle X}$; y ${\displaystyle w_{ij}}$ es un elemento de una matriz de pesos espaciales.

El valor esperado de la I de Moran bajo la hipótesis nula de no autocorrelación espacial es

${\displaystyle E(I)={\frac {-1}{N-1}}}$

Su varianza es igual

${\displaystyle \operatorname {Var} (I)={\frac {NS_{4}-S_{3}S_{5}}{(N-1)(N-2)(N-3)(\sum _{i}\sum _{j}w_{ij})^{2}}}}$

donde

${\displaystyle S_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}(w_{ij}+w_{ji})^{2}}$

${\displaystyle S_{2}={\frac {\sum _{i}(\sum _{j}w_{ij}+\sum _{j}w_{ji})^{2}}{1}}}$

${\displaystyle S_{3}={\frac {N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{(N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle S_{4}={\frac {(N^{2}-3N+3)S_{1}-NS_{2}+3(\sum _{i}\sum _{j}w_{ij})^{2}}{1}}}$

${\displaystyle S_{5}=S_{1}-2NS_{1}+{\frac {6(\sum _{i}\sum _{j}w_{ij})^{2}}{1}}}$

Los valores negativos (positivos) indican negativo (positivo) de autocorrelación espacial. Los valores oscilan entre -1 (indicando dispersión perfecta) a 1 (correlación perfecta). Un valor de cero indica un patrón espacial aleatoria. Para las pruebas de hipótesis estadísticas, los valores de Moran I pueden ser transformados a la Z-score en el que los valores superiores a 1,96 o menor que -1.96 indican autocorrelación espacial que es significativo al nivel del 5%.

I de Moran es inversamente proporcional a C de Geary, pero no es idéntica. De Moran I es una medida de autocorrelación espacial global, mientras que C de Geary es más sensible a la autocorrelación espacial local.

Usos

El I de Moran es ampliamente utilizado en los campos de geografía y ciencia de los CI. Algunos ejemplos incluyen:

• El análisis de las diferencias geográficas en las variables de salud.[3]​

• Se ha utilizado para caracterizar el impacto de las concentraciones de litio en el agua pública en la salud mental.[4]​

• También se ha utilizado recientemente en dialectología para medir la importancia de la variación del idioma regional.[5]​

Referencias

1. Moran, P. A. P. (1950). "Notes on Continuous Stochastic Phenomena". Biometrika 37 (1): 17–23.
2. Li, Hongfei; Calder, Catherine A.; Cressie, Noel (2007). «Beyond Moran's I: Testing for Spatial Dependence Based on the Spatial Autoregressive Model». Geographical Analysis 39 (4): 357-375. doi:10.1111/j.1538-4632.2007.00708.x. 
3. «The Analysis of Spatial Association by Use of Distance Statistics». Geographical Analysis 24 (3): 189-206. 3 de septiembre de 2010. doi:10.1111/j.1538-4632.1992.tb00261.x. 
4. Helbich, M; Leitner, M; Kapusta, ND (2012). «Geospatial examination of lithium in drinking water and suicide mortality». Int J Health Geogr. 11 (1): 19. PMC 3441892. PMID 22695110. doi:10.1186/1476-072X-11-19. 
5. Grieve, Jack (2011). «A regional analysis of contraction rate in written Standard American English». International Journal of Corpus Linguistics 16 (4): 514-546. doi:10.1075/ijcl.16.4.04gri. 

• Datos: Q3150399